Задачи по "Высшей математике"

Задача 1.

1) Построение кривых безразличия:

Функция полезности дана в виде U(x, y) = sqrt(x * y).

Чтобы построить кривые безразличия, нам нужно фиксировать уровень полезности U и найти соответствующие значения x и y.

Для примера, возьмем несколько значений уровня полезности U: U = 1, U = 2, U = 3.

Подставим эти значения в функцию полезности и решим уравнение относительно y:

1 = sqrt(x * y) => y = 1 / x

2 = sqrt(x * y) => y = 4 / x^2

3 = sqrt(x * y) => y = 9 / x^2

Теперь мы можем выбрать несколько значений x и подставить их в уравнения для получения соответствующих значений y.

Например, при x = 1 получим:

- Для U = 1: y = 1

- Для U = 2: y ≈ 4

- Для U = 3: y ≈ 9

Повторив эту процедуру для различных значений x, мы построим несколько кривых безразличия:

2) Уравнения средней и предельной полезности:

Средняя полезность (MU) определяется как отношение общей полезности к количеству потребляемых единиц блага.

Для каждого блага это будет производная функции полезности по количеству данного блага.

MUx = ∂U/∂x = (∂/∂x) sqrt(x * y)

MUy = ∂U/∂y = (∂/∂y) sqrt(x * y)

Дифференцируя функцию полезности U(x, y) = sqrt(x * y) по переменным x и y, получим:

MUx = 1 / (2 * sqrt(x * y))

MUy = 1 / (2 * sqrt(x * y))

Уравнения средней полезности:

MUx = 1 / (2 * sqrt(x * y))

MUy = 1 / (2 * sqrt(x * y))

Предельная полезность (MRS) определяется как отношение предельной полезности одного блага к предельной полезности другого блага.

В данном случае, предельная полезность товара X по отношению к товару Y будет равна:

MRS = MUx / MUy = (1 / (2 * sqrt(x * y))) / (1 / (2 * sqrt(x * y))) = 1

3) Математическая модель задачи оптимального выбора потребителя:

Математическая модель задачи оптимального выбора потребителя будет выглядеть следующим образом:

max U(x, y) = sqrt(x * y)

subject to:

2x + 5y <= 100 (бюджетное ограничение)

Мы хотим максимизировать функцию полезности при заданном бюджете.

Для решения этой задачи методом исключения можно сформулировать функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = U(x, y) - λ(Px * x + Py * y - l)

Где λ - множитель Лагранжа.

Затем решим систему уравнений, состоящую из производных функции Лагранжа по переменным x, y и λ, а также бюджетного ограничения.

4) Приближенная формула для изменения полезности:

Используя понятие дифференциала функции полезности, мы можем записать приближенную формулу для изменения полезности при уменьшении блага x на 1 единицу и увеличении блага y на 1 единицу.

ΔU ≈ ∂U/∂x * Δx + ∂U/∂y * Δy

В данном случае, если мы уменьшим благо x на 1 единицу (Δx = -1) и увеличим благо y на 1 единицу (Δy = 1), то приближенное изменение полезности будет:

ΔU ≈ (∂U/∂x) * (-1) + (∂U/∂y) * 1

Для функции полезности U(x, y) = sqrt(x * y), найдем производные:

∂U/∂x = (1/2) * (y / sqrt(x * y))

∂U/∂y = (1/2) * (x / sqrt(x * y))

Подставим эти значения в приближенную формулу:

ΔU ≈ [(1/2) * (y / sqrt(x * y))] * (-1) + [(1/2) * (x / sqrt(x * y))] * 1

Упростим выражение:

ΔU ≈ (-y/2√(xy)) + (x/2√(xy))

ΔU ≈ (x - y) / [2√(xy)]

Таким образом, при уменьшении блага x на 1 единицу и увеличении блага y на 1 единицу, изменение полезности будет примерно равно (x - y) / [2√(xy)].

Задача 2

Для