Задачи по "Математике"

У=с1+с2ех

Мұндағы с1=с1(х), с2=с2(х) деп алып, бсрілген теңдеудің дербес шешімін мынадай түрде іздейміз:

у = с1(х)+с(х)ех

Белгісіз с1(х). С2(х) функцияларын төмендегі теңдеулер жүйесінен

 ==> [pic 1]

       ==>[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

,[pic 5]

[pic 6]

Табылған с1(х), с2(х) мәндерін ізделінді шешімге қоямыз.

Сонда

у =   ( –тұрақты шамалар).[pic 7][pic 8]

Бұл функция берілген теңдеудің жалпы шешімі болып табылады.
19 - мысал. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешіңдер:

[pic 9]

Шешуі: Жүйенің екінші теңдеуін х бойынша дифференциалдық, онда тендігі шығады. Бұл теңдіктің оң жағын бірінші теңдеумен алмастырамыз, сонда  .[pic 10][pic 11]

Енді соңғы теңдіктің оң жағындағы у-ті  пен алмастырсақ, бір белгісізі бар екінші ретті теңдейге келеміз: [pic 12]

                (*)[pic 13]

Бұл теідеуге тәуелсізге тәуелсіз айнымалы х айқын түрде енбегендіктен, оның ретін төмендетуге болады. Бірақ бұл теңдеуді былайша жазып: zz’’-z’2=0 екі бірдей z2- қа бөлсек, Оңда төмендегідей теңдік шығады:

,[pic 14]

  Осы теңдікті пайдаланып, (*) теңдеуді =0 түрінде жазуға болады. Бұдан =с1 немесе z1=c1z. Бұл айнымалылары бөләнетән теңдеу, оны .[pic 15][pic 16][pic 17]

Ескерту. Біз бұл мысалда теңдеулер жүйесін интегралданатын комбинациялар әдісімен шешейік.

20-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіндер:

.[pic 18]

Шешуі: Жүйенің үш теңдеуін мүшелеп қосайық: ,         [pic 19]

яғни

.[pic 20]

Енді жүйенің бірінші теңдеуін х-ке, екінші теңдеуін у-ке, ал үшінші теңдеуін -ке көбейтіп, мүшелеп қосайық. Сонда [pic 21]

,[pic 22]

.[pic 23]

Енді берілген теңдеулер жұйесінің үшінші теңдеуін t бойынша дифференциалдайық, сонда

 теңдеуі шығады. [pic 24]

Бұл теңдеуді жүйенің алғашқы екі теңдеуін пайдаланып, былайша жазуға болады:

.[pic 25]

Мұндағы (х+у) өрнегін алғашқы интегралдан (х+у+) тауып, орнына қойсақ [pic 26][pic 27]

Тендеуі шығады. Пайда болған бұл теңдеу коэффициенттері тұрақты екінші ретті сызықтық теңдеу болып табылады. Анықтамаған каэфициенттер әдісімен оның шешімін табамыз, ол:

*t+*t[pic 28][pic 29]

Ал х және у белгісіз функцияларын табу ушін, х+у=,[pic 30]

x-y= тендіктерін пайдаланып, мынадай теңдеулер жүйесін шығарып аламыз:[pic 31]

  =>[pic 32]

[pic 33]

Сонымен, берілген теңдеулер жүйесінің шешімі мынадай түрде жазылады: