Задачи по "Высшей математике"

Вариант № 10

1) Предприятие располагает сырьём в количестве 82 т, рабочей силой 172 человек и оборудованием в 63 станко-час, необходимым для производства двух видов товаров: А и В. Прибыль от реализации единицы каждого вида товаров равны 45 тыс. р. и 35 тыс. р. соответственно. Затраты на изготовление ед. товара А составляют 4 т по сырью бригадой из 6 чел., работающих вместе на оборудовании 2 ч. Для ед. товара вида В затраты 3 т, 8 чел. и 3 ч соответственно. Определить ассортимент товара, дающий максимальную прибыль:

а) записать математическую модель;

б) решить задачу графическим методом.

Решение.

а) Пусть х1, х2 (ед.) – количество продукции, которое необходимо производить, тогда введем ограничения.

По сырью: 4х1+3х2≤82 (т),

По рабочей силе: 6х1+8х2≤172 (чел).

По оборудованию : 2х1+3х2≤63 (ст-час).

Необходимо потребовать неотрицательность переменных х1≥0, х2≥0.

Целевая функция F=45х1+35х2→max (ден.ед).

Экономико-математическая модель задачи:

F=45х1+35х2→max,

4х1+3х2≤82

6х1+8х2≤172

2х1+3х2≤63

х1≥0, х2≥0.

б) Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 45x1+35x2→ max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 45x1+35x2= 0.

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (45;35). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

[pic 1]

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

4x1+3x2=82

6x1+8x2=172

Решив систему уравнений, получим: x1= 10, x2= 14

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 45*10 + 35*14 = 940

Следовательно, для обеспечения максимальной прибыли, равной 940 тыс. руб., предприятию необходимо выпускать 10 ед. товара А и 14 ед. товара В.

2) На трёх станциях ( Ai) сосредоточен однородный груз, который следует перевезти в четыре пункта назначения (Bj), имеющих потребность в этом грузе. Стоимость перевозок единицы груза от каждой станции до каждого пункта назначения считается известной и содержится в таблице. Требуется составить такой план перевозок, при котором их общая стоимость окажется минимальной.

Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Решение.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 30 + 40 + 53 = 123

∑b = 22 + 35 + 25 + 41 = 123

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.