Задачи по "Высшей математике"

Вариант № 19

1. Докажите, что ( +15n −1)  9 при любом натуральном n.[pic 1][pic 2]

Доказательство:

Для доказательства нужно применить метод математической индукции

При n=1, выражение имеет вид +15×1-1=18 (кратно 9), т.е. базис индукции выполняется[pic 3]

При n=k, выражение имеет вид ( +15k −1) = 9p, т.е. базис индукции выполняется[pic 4]

При n=k+1, надо доказать, что выражение (k+1) = ( +15n −1)  9[pic 5][pic 6]

Установим справедливость индукционного шага. Из выражения

( +15k −1) = 9p, найдем =9p+1-15k и подставим в выражение k+1=4k+1+15k+14=4(9p+1-15k)+15k+14=36p+18-45.[pic 7][pic 8]

Выражение k+1 состоит из трех слагаемых, каждое из которых кратно 9. Связь между пунктами 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пункте 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пункта 3.

На основании принципа математической индукции заключаем, что

( +15n −1)  9 при любом натуральном n. ч.т.д [pic 9][pic 10]

1. Докажите, что формула  определяет отображение  и отображение . Будет ли каждое из этих отображений инъективным, сюръективным, обратимым?[pic 11][pic 12][pic 13]

1. Выясните, какими из свойств (коммутативность, ассоциативность, сократимость, обратимость, идемпотентность, наличие нейтрального и симметричного элементов) обладает операция, заданная в R формулой ∀x ∀y (x ο y = x + y + 6).

1. На множестве участников турнира по шашкам определены отношения: а) x ρ y ⇔ «х набрал столько же очков, что и у»,

б) xσ y ⇔ «х набрал меньше очков, чем у»,

в) xτ y ⇔ «х не больше очков, чем у».

Какие из этих отношений являются эквивалентностью или порядком? В первом случае охарактеризовать классы эквивалентности, во втором – определить тип порядка.