Задачи по "Высшей математике"

Задание 2.

Дана матрица игры [pic 1]

1. Проверить наличие седловой точки;
2. Упростить матрицу игры с помощью геометрических построений;
3. Найти решение игры.

Решение:

1) Проверим наличие седловой точки.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначим [pic 2]. Получаем: [pic 3], [pic 4], [pic 5], [pic 6]. Выберем максимальное из этих значений [pic 7] - нижняя цена игры.

Аналогично для второго игрока. Найдем максимальное значение выигрыша по столбцам: [pic 8], [pic 9] и минимальное из этих чисел [pic 10] - верхняя цена игры.

Так как верхняя и нижняя цена игры различны, игра не имеет решения в чистых стратегиях, цена игры находится в промежутке от 3 до 4 (между нижней и верхней ценой игры). Платежная матрица не имеет седловой точки.

2) Строим графическое изображение игры для игрока В.

[pic 11]

Точка [pic 12](минимакс) является точкой оптимума. В этой точке пересекаются линии, соответствующие активным стратегиям [pic 13]  и [pic 14] игрока [pic 15]. Таким образом, исключаются стратегии [pic 16]и [pic 17], получаем матричную игру 2х2 с платежной матрицей вида:

3) Используя алгебраический метод решения этой игры, получаем точное решение

[pic 24], [pic 25]

[pic 26], [pic 27]

[pic 28]

Ответ: [pic 29], [pic 30];[pic 31]

Задание 3.

Дана матрица игры [pic 32]

1. Проверить наличие седловой точки;
2. Найти решение игры методом  Крамера.

Решение:

1. Проверим наличие седловой точки.

[pic 35]        

[pic 36]

        Седловой точки не существует. Следовательно, решение необходимо искать в смешанных стратегиях.

1. Метод Крамера

Пусть [pic 37] - оптимальная стратегия первого игрока (игрока А), тогда при первой стратегии второго игрока получаем [pic 38], а при применении им второй стратегии [pic 39] и, соответственно, при применении третьей стратегии [pic 40]. Добавим еще одно условие: [pic 41].

Получили систему уравнений:

[pic 42]

Преобразуем эту систему к системе трех уравнений с тремя неизвестными:

[pic 43]

Решим систему уравнений по формулам Крамера.

Вычислим определитель основной матрицы, составленный из  коэффициентов при неизвестных:

[pic 44]

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то система алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Вычислим определители [pic 45], [pic 46],[pic 47] матриц, которые получаются путем замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами: