Задачи по "Высшей математике"

Содержание

Задание 1        3

Задача 2        6

Задача 3        8

Задача 4        9

Задание 5        11

Задание 6        13

Задание 7        15

Задание 8        18

Задание 9        20

Задача 10        22

Список литературы        24

Задание 1

Даны вершины A(-5;0); B(0;7); C(7;-1) треугольника. Найти:

1. длину стороны AC;
2. уравнение высоты, проведенной через вершину B;
3.  внутренний угол A в градусах с точностью до 0,01 градуса;
4. уравнение медианы, проведенной через вершину B;
5. длину высоты, проведенной через вершину B;
6. систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника;
7. выполнить чертеж.

Решение

1. длину стороны AC вычислим по формуле:

[pic 1]

где

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

1. внутренний угол A в градусах с точностью до 0,01 градуса;

Внутренний угол A найдем как угол между прямыми AB и  по формуле[pic 5]

[pic 6]

Тогда

[pic 7]

Угловой коэффициент прямых по формуле .[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

A[pic 12][pic 13]

1. Найдем уравнение высоты, проведенной через вершину B, используя уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку.

[pic 14]

[pic 15]

Угловой коэффициент высоты BD найдем, используя условие перпендикулярности прямых:

[pic 16]

Так как 1[pic 17]

[pic 18]

Подставляем полученное в уравнение:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

1. Найдем уравнение BE. Так как точка E является серединой отрезка AC найдем ее координаты по формулам

[pic 22]

[pic 23]

Для нахождения уравнения медианы воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки, вида

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

 - уравнение медианы BE[pic 28]

1. Найдем длину высоты BD, как расстояние от точки B до прямой AC по формуле:

[pic 29]

где A, B, C – коэффициенты уравнения прямой AC, а [pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

• (x+5)=- 12y

-x+12y-5=0 ––уравнение стороны AC

Тогда [pic 35]

[pic 36]

1. Выполним чертеж

[pic 37]

Ответ: 1) [pic 38]

2) [pic 39]

3) [pic 40]

4) [pic 41]

5) 0

Задача 2

Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки  и прямой  равно . Выполнить чертеж.[pic 42][pic 43][pic 44]

Решение

Пусть  – произвольна точка искомой линии. Тогда [pic 45]

[pic 46]

где точка . Найдем:[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Тогда

[pic 50]

Возведем обе части в квадрат:

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

Разделим обе части на 576

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Центр гиперболы в точке  M(-4;-1)

[pic 61]

Задача 3

Даны вектора . Показать, что векторы  образуют базис трехмерного пространства, найти координаты вектора  в этом базисе.[pic 62][pic 63][pic 64]

[pic 65]

Решение

Покажем, что вектора , образуют базис. Эти вектора образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: . В матричной форме оно принимает вид:[pic 66][pic 67]

[pic 68]

Которое сводится к системе

[pic 69]

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера:

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

Координаты вектора   в базисе   равны .[pic 78][pic 79][pic 80]

Таким образом, в этом базисе вектор  принимает вид [pic 81][pic 82]

Задача 4

1. Решить систему уравнений двумя методами

[pic 83]

Решение

1) Метод Крамера

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

Проверка: 5*2-4*3+5=3

-2+3*3+2*5=17

2*2-3-5=-4

2) Метод Жордано-Гаусса

[pic 100]