Задачи по "Математике"

3.01. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая – половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

10 оставшихся яиц – это половина минус 0,5 яйца от того, что осталось после первой покупательницы, следовательно, после первой покупательницы осталось (10+0,5)*2 = 21 яйцо.

Это составляет половину без 0,5 яйца от того, что было изначально. Следовательно, изначально крестьянка принесла на рынок (21+0,5)*2 = 43 яйца. Первая покупательница купила 22 яйца, вторая 11 яиц.

3.02. Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение в 24 дня, второй в 36 дней, третий в 20 и четвертый в 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они в один день, если будут работать вместе?

Первый писец в день переписывает 1/24 часть сочинения, второй – 1/36 часть, третий – 1/20 часть и четвертый – 1/18 часть. Следовательно, за день они вместе перепишут

1/24+1/36+1/20+1/18 = 15/360+10/360+18/360+20/360 = 63/360 = 7/40 сочинения.

3.03. Из Акмимского папируса (VI в.) Некто взял из сокровищницы 1/3. Другой взял 1/17 из того, что осталось. Осталось же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально.

150 – это 16/17 от того, что осталось после первого, следовательно после первого осталось

150*17/16 = 159 6/16

Это составляет 2/3 от того, что было первоначально в сокровищнице. Следовательно, изначально было

159 6/16 * 3 : 2 = 239 1/16

Изначально в сокровищнице было 239 1/16 сокровищ

3.04. (Задача Герона Александрийского, I в.) Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час – четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

В один час обе трубы дают 1+4 = 5 кубических единиц. Таким образом, 12 кубических единиц заполнятся за 12:5 = 2 2/5 часа.

3.05. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая – за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

За 3 дня первая бригада выполнила 3/9 = 1/3 задания. Таким образом на долю второй бригады осталось 2/3 задания, которые они сделали за 12/3*2 = 8 дней. Итого работа длилась 3+8 = 11 дней.

3.06. Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения?

Скорость лодки в 3 раза (12/4) выше скорости течения, поэтому двигаясь по течению, лодка преодолеет то же расстояние за 12(3+1) = 3 ч, а против течения – за 12(3-1) = 6 часов.

3.07. Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

Поскольку за неделю площадь покрытия удваивается, а за 8 недель пруд был покрыт полностью, то неделю назад он был покрыт наполовину, т.е. наполовину он покрылся за 7 недель.

3.08. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

Один писец за 9 дней напишет 15/8*9 = 135/8 листов.

Значит, чтобы написать 405 листов, понадобится 405*8/135 = 24 писца

3.09. Яблоки, содержащие 70% воды, потеряли при сушке 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

При сушке теряется вода, поэтому в сушеном яблоке осталось воды лишь 10% от первоначальной массы яблока. Новая масса яблока составляет 40% от первоначальной массы. Следовательно, содержание воды в сушеном яблоке составляет 10/40*100% = 25%.

3.10. В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Количество всех участников составляет 60%+100% = 160% от количества мальчиков. Таким образом, количество девочек от общего числа составляет 60/160*100% = 37,5%.