Контрольная работа по "Математике"

КАФЕДРА  (Теории и методологии науки)

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

В № 14

                                                   По дисциплине:   Математика

2023

1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных:

z = 3*x2 – x3 + 3 * y2  + 4 * y.

а)найдем частные производные:

  = -3 * x2  + 6 * x[pic 1]

  = 6 * y  + 4[pic 2]

б) решим систему уравнений:

-3 * x2  + 6 * x = 0

6 * y  + 4 = 0

Х1 = 0

6у + 4 = 0

Х2 = 2

6у + 4 = 0

Откуда у1 = -2/3; у2 = -2/3

-3 * x2  + 6 * x = 0

или

3*х (-х + 2) = 0

Откуда х1 = 0; х2 = 2.

Количество критических точек: 2.

М1(0;-2/3); М2 (2;-2/3).

в) найдем частные производные второго порядка:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

г) вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках М1 (0;-2/3):

А = [pic 6]

В = [pic 7]

АС – В2 = 36 > 0 и А > 0, то в точке М1 (0;-2/3) имеется минимум z (0;-2/3) = - 4/3

Вычисляем значения для точки М2 (2;-2/3):

А = [pic 8]

2. Даны вершины треугольника А (3, -8,8); В (8,2,-7); С (-5,14,-3). Составить каноническое уравнение биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение), для чего через точку В проведем плоскость α, перпендикулярную стороне АС. Для этой плоскости вектор  является нормальным. Поэтому уравнение плоскости α имеет вид [pic 9]

-8 * (х – 8) + 22 * (у – 2) – 11 * (z + 7) = 0

или

22 * y – 8 * x – 11 * z – 57 = 0.

Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р, на которой лежит сторона АС. Для этой прямой р вектор является направляющим вектором. Зная, что р проходит через точку А(3-8;-8), можно составить параметрические уравнения р:[pic 10]