Контрольная работа по "Математика и информатика"
Автор: Виктор Шаврин • Март 9, 2018 • Контрольная работа • 995 Слов (4 Страниц) • 646 Просмотры
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финуниверситет)
Тульский филиал Финуниверситета
__________________________________________________________________
Кафедра «Математика и информатика»
Пример выполнения контрольной работы №2 по дисциплине
«Математика»
(для студентов бакалавриата, обучающимся по направлению 38.03.02
«Менеджмент»)
Составил: к.ф.-м.н., доцент
кафедры математики и информатики
Луценко Алексей Георгиевич
1. | Найти неопределенный интеграл [pic 1]. |
Решение.
I. Проводим тождественное преобразование подынтегральной функции:
[pic 2] .
II. Используя метод разложения, получаем:
[pic 3].
Ответ. [pic 4].
2. | Найти определенный интеграл [pic 5]. |
Решение.
I. Для нахождения первообразной функции вычисляем соответствующий неопределенный интеграл. Для этого используем метод замены переменной.
Теорема. Пусть функция x=ϕ(t) имеет непрерывную производную, тогда
[pic 6].
Заметим, что формула [pic 7] для интегрирования заменой переменной нередко находится после выбора некоторой функции [pic 8], удобной для преобразования подынтегральной функции, но не позволяющей применить метод интегрирования подстановкой.
[pic 9]
[pic 10].
II. Для вычисления определенного интеграла применяем формулу Ньютона-Лейбница: [pic 11].
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14] .
Ответ. [pic 15].
Замечание. Вычисления проще провести, используя формулу замены переменной в определенном интеграле. При этом необходимо заменить пределы интегрирования в определенном интеграле.
Теорема. Если функция [pic 16] непрерывна на отрезке [pic 17], функция [pic 18] монотонна на отрезке [pic 19] причем [pic 20], [pic 21] и функция [pic 22] непрерывна на отрезке [pic 23], то [pic 24].
[pic 25]
[pic 26] .
3. | Найти определенный интеграл [pic 27]. |
Решение.
I. Применяем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции [pic 28] и [pic 29] имеют на промежутке I непрерывные производные. Тогда: [pic 30].
Получаем:
[pic 31]
[pic 32] .
II. При вычислении интеграла [pic 33] проводим тождественное преобразование подынтегральной функции (см. учебник [1], стр. 278), а также применяем метод замены переменной (подстановки):
[pic 34]
[pic 35].
Ответ. [pic 36].
Замечание. Можно было сначала применить метод подстановки [pic 37], а потом формулу интегрирования по частям.
Подчеркнем, что метод подстановки эффективен в том случае, если подынтегральная функция может быть представлена в виде [pic 38], т.е. если подынтегральная функция содержит в качестве множителя производную [pic 39] того выражения [pic 40], которое обозначается через новую переменную t.
[pic 41]
[pic 42][pic 43]
[pic 44].
4. | Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: [pic 45]; [pic 46]; [pic 47]; [pic 48]. Сделать чертеж. |
Решение.
I. Построим чертеж:
[pic 49]
II. Выражаем площадь заданной фигуры через определенный интеграл. Для этого используем теорему о том, что если f и g - непрерывные на отрезке [pic 50] функции, причем для всех x из отрезка [pic 51] выполняется неравенство [pic 52], то площадь фигуры, ограниченной прямыми [pic 53], [pic 54] и графиками функций [pic 55], [pic 56], вычисляется по формуле [pic 57].
...