Контрольная работа по "Математике"
Автор: Dogvogl • Апрель 17, 2018 • Контрольная работа • 2,327 Слов (10 Страниц) • 506 Просмотры
Контрольная работа
по дисциплине: Математика
Тема 1. Матрицы и определители
1.1. Вычислить определитель.
[pic 1]
Решение:
Для вычисления определителя используем формулу:
[pic 2]
[pic 3]
Таким образом, получим:
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
Ответ: определитель заданной матрицы равен: [pic 9]
1.2. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку.
[pic 10]
Решение:
Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:
, где [pic 11][pic 12]
[pic 13]
Находим определитель основной матрицы :[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Найдем обратную матрицу методом алгебраических дополнений:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
= [pic 25][pic 26]
Тогда обратная матрица имеет вид:
[pic 27]
Для проверки верности результата умножим найденную матрицу на исходную :[pic 28]
, где [pic 29][pic 30]
[pic 31][pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
Получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена верно.
Ответ:[pic 35]
Тема 2. Системы линейных уравнений
Решить систему уравнений тремя способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса или методом Жордана–Гаусса.
[pic 36]
Решение:
а) Воспользуемся формулами Крамера:
,[pic 37]
где определитель основной матрицы системы; определители матриц, полученных из основной матрицы заменой – го столбца на столбец свободных членов. [pic 38][pic 39][pic 40]
Находим определитель основной матрицы :[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
Находим определители: [pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
Тогда имеем: [pic 51]
Ответ: [pic 52]
б) Метод Гаусса.
Решение:
С помощью элементарных преобразований приводим систему к треугольному виду. Запишем расширенную матрицу системы:
[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
Получили новую систему уравнений, эквивалентную исходной системе:
[pic 64]
Решаем её, делая обратный ход:
[pic 65]
Ответ: [pic 66]
в) Матричный метод.
Решение:
Решение системы ищем в виде: где - обратная матрица.[pic 67][pic 68]
Имеем:
Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:[pic 69][pic 70][pic 71]
, где [pic 72][pic 73]
[pic 74]
Найдем обратную матрицу методом алгебраических дополнений
[pic 75][pic 76]
[pic 77][pic 78]
[pic 79][pic 80]
[pic 81][pic 82]
[pic 83]
Тогда обратная матрица имеет вид:
[pic 84]
Находим решение:
[pic 85]
[pic 86]
Ответ:[pic 87]
Тема 3–4. Векторная алгебра. Уравнение прямой.
По координатам вершин треугольника ABC найти: периметр треугольника; уравнения сторон AB и BC; уравнение высоты AD; угол ABC; площадь треугольника. Сделать чертеж.
[pic 88]
Решение:
- Для нахождения периметра необходимо знать длины сторон треугольника. Периметр найдём по формуле: или в данном случае: .[pic 89][pic 90]
Длину стороны можно вычислить как расстояние между двумя точками по формуле:
[pic 91]
Таким образом, получим:
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
...