Контрольная работа по "Математике"

Вариант 8

Контрольная работа № 1

Задача 1

Даны координаты вершин треугольника АВС

Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

[pic 1], [pic 2], [pic 3]

Решение:

1) [pic 4]= [pic 5]

2) Уравнение ВС:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС

Вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле

[pic 11]

Из уравнения ВС: [pic 12]

[pic 13]= [pic 14]

[pic 15]

4) АК – высота

[pic 16]

Уравнение АК

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если АМ – медиана и Р – точка пересечения его медиан, то Р делит АМ  в отношении 2:1, начиная от вершины, т.е. [pic 20]

Основание медианы – точка М – середина ВС. Найдем координаты точки М:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

6)

[pic 28]

Ответ: 1) [pic 29]= [pic 30]

2) [pic 31]

3) [pic 32]

4) [pic 33]

5) [pic 34]

Задача 2

Даны координаты точки А, уравнение прямой [pic 35] и число [pic 36].

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение её расстояний до точки А и до прямой [pic 37] равно [pic 38]. Сделать чертеж в системе координат

[pic 39];  [pic 40];   [pic 41]

Решение:

Пусть М – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющая условию задачи, т.е. [pic 42]

[pic 43], где К – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую [pic 44].

Так как К – лежит на прямой [pic 45], то [pic 46]

Запишем равенство [pic 47] в координатной форме, используя формулу для длины отрезка:

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54] - уравнение эллипса с осями а = 3 и b = [pic 55]

[pic 56]

Ответ: [pic 57] - уравнение эллипса

Задача 3

Дано уравнение кривой 2-го порядка. Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти её характерные элементы в исходной системы координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

[pic 58]

Решение:

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]- уравнение гиперболы с вершиной в точке (5;-1).

Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам

[pic 62]

В результате получили каноническое уравнение гиперболы [pic 63] в системе координат [pic 64].

Найдем характерные элементы

[pic 65] - действительная полуось

[pic 66] - мнимая полуось

[pic 67]

Координаты фокусов гиперболы в системе координат [pic 68]: [pic 69], [pic 70]

Уравнение асимптот: [pic 71]

Эксцентриситет: [pic 72]

Найдем координаты фокусов  в системе ХОY

[pic 73]→[pic 74]→[pic 75] и [pic 76]

[pic 77], [pic 78]

[pic 79]

Ответ: [pic 80] - каноническое уравнение гиперболы, где [pic 81]

Характерные  элементы

О1 (5;-1)  - вершина гиперболы;

[pic 82], [pic 83]– координаты фокусов в системе ХОY

Задача 4

Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

Требуется:

1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;

2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;

3) построить обе линии в исходной системе координат.