Контрольная работа по "Математике"

Задание 1. Вычислить неопределенный интеграл:

а) ∫▒〖6x^2 dx〗

Решение:

1. Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от этой функции:

∫▒〖6x^2 dx〗=6∫▒〖x^2 dx〗

2. Интеграл x^n есть x^(n+1)/(n+1).

Таким образом 6*∫▒〖x^2 dx=6*x^3/3〗=2x^3

3. Добавляем постоянную интегрирования:

2x^3+constant

Ответ: 2x^3+constant

б) ∫▒〖(8x^3+4x-7)dx〗

Решение:

Интегрируем почленно:

∫▒〖(8x^3+4x-7)dx〗=∫▒〖8x^3 dx〗+∫▒4xdx+∫▒〖(-7)dx〗

1. Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от этой функции:

∫▒〖8x^3 dx〗=8∫▒〖x^3 dx〗=8*x^44=2x^4

2. Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от этой функции:

∫▒4xdx=4∫▒xdx=4*x^2/2=2x^2

3. Интеграл от константы есть произведение этой константы на переменную интегрирования:

∫▒〖(-7)dx〗=-7x

3. Добавляем постоянную интегрирования:

2x^4+2x^2-7x+constant

Ответ: 2x^3+2x^2-7x+constant

в) ∫▒〖(2x^4+7)^2 dx〗

Решение:

1. Раскроем скобки:

∫▒〖(2x^4+7)^2 dx〗=∫▒(4x^8+28x^4+49)dx

2. Интегрируем почленно:

∫▒〖(4x^8+28x^4+49)dx〗=∫▒〖4x^8 dx〗+∫▒〖28x^4 dx〗+∫▒49dx

3. Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от этой функции:

∫▒〖4x^8 dx〗=4∫▒〖x^8 dx〗=4*x^9/9=〖4x〗^9/9

4. Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от этой функции:

∫▒〖28x^4 dx〗=28∫▒〖x^4 dx〗=28*x^5/5=(28x^5)/5

3. Интеграл от константы есть произведение этой константы на переменную интегрирования:

∫▒49dx=49x