Задачи по "Теории вероятности"

Задача №25. 

Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятности того, что при однократном измерении:

а) хотя бы один из исследователей допустит ошибку;

б) только один исследователь допустит ошибку.

Решение

Формализуем задачу и вводим независимые события:

Событие  - (ошибку допускает первый исследователь),[pic 1]

Событие  - (ошибку допускает второй исследователь),[pic 2]

Событие  - (ошибку допускает третий исследователь),[pic 3]

Событие  – (ошибку допускает хотя-бы один исследователь),[pic 4]

Событие  – (только один исследователь допускает ошибку). [pic 5]

Известно, что:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

а) Событие  является противоположным событию  (не допущено ни одной ошибки): .[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Следовательно, вероятность того, что, хотя бы один из исследователей допустит ошибку:

[pic 13]

б) Найдем вероятность события  – (из трех исследователей ошибку допустил только один). [pic 14]

Рассмотрим все возможные ситуации:

1. Когда первый исследователь допускает ошибку (событие ), и одновременно с этим второй исследователь не допустит ошибки (событие ) и третий исследователь не допустит ошибки (событие ), то есть получили произведение событий . [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

2. Второй исследователь допускает ошибку (событие ), а первый и третий не допускают, то есть [pic 19][pic 20]

3. Третий исследователь допускает ошибку (событие ), а первый и второй не допускают, то есть [pic 21][pic 22]