Задача по "Теории вероятности"

Задача по теории вероятности.

Задача № 1.

 На полке стоит 100 книг, из них выбрали случайный набор книг (все наборы равновероятны), а затем поставили их обратно. На следующий день с этой полки снова взяли случайный набор книг. Найти вероятность того, что во второй день не взяли ни одной книги из тех, что были взяты в первый день.

Решение: Найдем решение для n книг.

Для множества из n элементов число все подмножеств равно 2**n.

Поэтому имеется 2**n наборов книг, учитывая пустой набор и все книги.

Следовательно два набора можно выбрать 4**n способами.

Подсчитаем число способов в которых наборы не пересекаются. Если первый набор содержит k книг, то его можно выбрать C(k, n) способами. При этом второй набор должен быть выбран из оставшихся n – k книг, таких наборов 2**(n-k).

Следовательно общее число способов равно

Сумма (от k=0 до n) C(k, n) * 2**(n−k) = (1 + 2)**n = 3**n .

Искомая вероятность P = (3/4)**n = (3/4)**100

Задача № 2.

На шахматной доске размером n*n случайно размещают n ладей. Найдите вероятность того, что ладьи не бьют друг друга.

Решение: Всего на шахматной доске имеем n**2 клеток.

По формуле нахождения вероятности: P = m/n, где m – количество благоприятных исходов, а n – количество всех возможных исходов.

Найдем m – количество всех возможных перестановок A (n, n)

A(n, n) = n! (так как для первой ладьи существует n способов выбрать клетку, для второй – (n-1) способ выбрать клетку, для последней n-ной ладьи – (n – n + 1) способ выбрать клетку.

Отсюда найдем n.

n = C(n, n**2)

Нужная нам вероятность P = n! /C(n,  n**2)

Задачи по комбинаторике.

Задача 1.

Найдите количество способов собрать хоровод из 7 девушек, если Маша и Катя не хотят стоять рядом.