Решение задач по теории вероятности

Автономная некоммерческая организация высшего образования

"СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Дисциплина: "МАТЕМАТИКА"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по теме: «Решение задач по теории вероятности»

Санкт-Петербург

Задача 1

1. Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий:

А – на всех кубиках одинаковое число очков;

B – на всех кубиках выпало в сумме три очка;

С – на всех кубиках выпало в сумме более трех очков.

2. Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий:

А – на всех кубиках в сумме выпало ровно четыре очка;

B – на всех кубиках в сумме выпало не менее четырех очков;

С – на всех кубиках в сумме выпало более четырех очков.

3. Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий:

А – на всех кубиках разное число очков;

B – на всех кубиках выпало в сумме восемнадцать очков;

С – на всех кубиках выпало в сумме менее восемнадцати очков.

Решение

Найдем общее число исходов:

 [pic 1]

 216 комбинаций цифр может выпасть при одновременном броске трех кубиков. [pic 2]

1. Событию А соответствует шесть благоприятных исходов:

(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)

P(A) =   - вероятность того, что на всех кубиках одинаковое число очков.[pic 3]

Событию В соответствует единственный благоприятный исход (1,1,1):

P(В) =  - вероятность того, что на всех кубиках выпало в сумме три очка.[pic 4]

Вероятность события С вычислим с помощью теоремы противоположных событий:

P(С) = [pic 5]

2) Событию А соответствует три благоприятных исхода: (1,2,1), (1,1,2), (2,1,1).

P(A) =  вероятность того, что на всех кубиках в сумме выпало ровно четыре очка.[pic 6]

Вероятность события В вычисляем, как задачу нахождения вероятности выпадения трех очков:

P(В) =  - на всех кубиках в сумме выпало не менее четырех очков.[pic 7]

Вероятность события С найдем из теоремы о сумме несовместных событий:

P(С) =1-на всех кубиках в сумме выпало более четырех очков.[pic 8]

3. Предположим, что  a, b, c  - означает, что на первом кубике выпало a очков, на втором b, на третьем c.

Для события А, а - можно выбрать произвольно - шестью способами, в - остается только 5 вариантов (исключаем выпавший в а), с - 4 варианта.

Всего благоприятных исходов 6*5*4

Р(А) =   [pic 9]

Для события  В благоприятен только один исход, а именно (6, 6, 6).

P(B) =   - на всех кубиках выпало в сумме восемнадцать очков.[pic 10]

Вероятность события С рассчитываем:

P(C) = 1 - P(B)= [pic 11]

Ответ.

P(A) = 1/36, P(B) = 1/216, P(C) = 215/216

P(A) = 3/216, P(B) = 1/216, P(C) = 212/216

P(A) = 5/9, P(B) = 1/216, P(C) = 215/216

Задача 18

Случайная величина распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=5 и вероятностью принять значение больше 10 равной 0,4. Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; найти вероятность попадания случайной величины в интервал (-2;8).

Решение

Используем формулу для нахождения вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал:

,[pic 12]

где

 - нормализованная функция Лапласа (значения берутся из таблицы), m- математическое ожидание,  - среднее квадратичное отклонение.[pic 13][pic 14]

Согласно условию задачи, вероятность принять значение больше 10 равна 0,4 для этой случайной величины, то есть:

[pic 15]

Решаем полученное уравнение относительно неизвестной m:

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

 = 0,253[pic 20]

m=8,735

Таким образом,  математическое ожидание M(X) = m = 8,735