Комбинаторика и элементы теории вероятности

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Часть I

Задания: 10, 24, 27, 48, 55, 69, 82, 96

10. Сколькими способами можно переставить буквы слова «хорошо» так, чтобы три буквы «о» не шли подряд?

Решение:

Число различных перестановок с повторениями из элементов [pic 1], в которых элементы [pic 2] повторяются соответственно [pic 3] раз, равно

[pic 4]

1.  – общее число перестановок.[pic 5]
2. Если три буквы «о» идут подряд, то их можно посчитать за одну. Тогда число перестановок, где три буквы «о» идут подряд, равно:

[pic 6]

1. [pic 7]

Ответ: 96.

24. Сколькими способами можно разбить 2n рабочих на бригады по два человека?

Решение:

[pic 8]

Пусть m=2n, k=2. Тогда

[pic 9]

Ответ: n(2n-1).

27. Сколько можно изготовить трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?

[pic 10]

Ответ: 120.

48. Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди 6-ти билетов, взятых на удачу, будет два выигрышных?

Решение:

Пусть А – событие, при котором 2 взятых билета выигрышные.

n – общее число исходов.

[pic 11]

m - число исходов, благоприятствующих событию А.

[pic 12]

[pic 13]

Ответ: 0,396.

55. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для выяснения решения бросает монету. Окончательное решение выносится большинством голосов. Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри вынесет правильное решение с большей вероятностью?

Решение:

Пусть – вероятность вынесения правильного решения жюри из трех человек,  – вероятность вынесения правильного решения жюри из одного человека.[pic 14][pic 15]

 (т.к. третий член жюри бросает монетку, то вероятность вынесения им правильного решения равно 0,5)[pic 16]

[pic 17]

Т.к. , то , [pic 18][pic 19]

,[pic 20]

т.е. .[pic 21]

Ответ: жюри из одного человека вынесет правильное решение с большей вероятностью.

69. В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором черный и при третьем – синий.

Решение:

Пусть  – вероятность того, что при первом испытании появится белый шар,  – при втором испытании появится черный шар,  – при третьем испытании появится синий шар.[pic 22][pic 23][pic 24]

1. 5+4+3=12 – количество шаров.
2. ,[pic 25]

, [pic 26]

          .[pic 27]

1. .[pic 28]

Ответ: .[pic 29]

82. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.9. произведено 100 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 80 раз.

Решение:

По теореме Лапласа вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, приближенно выражается равенством

Pn (k) [pic 30][pic 31] [pic 32](x),[pic 33]где x = [pic 34],  [pic 35](x) = [pic 36][pic 37], q = 1 – p      

[pic 38]

1. [pic 39]
2. [pic 40]
3. [pic 41]
4. [pic 42]

Ответ: .[pic 43]

96. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго - 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что взята наудачу деталь стандартна. 2) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной, найти вероятность того, что она сделана на первом станке.