Задачи по "Теории вероятности"

1. В магазин поступили 2 партии лампочек с двух заводов, причём 45% с первого завода и 55% со второго. Известно, что 500 часов работают безотказно каждые 69 лампочек из 100 первого и 84 из 100 второго завода. Наудачу из каждой партии выбирают по одной лампочке.

1) Какова, вероятность обнаружить среди них:

а) две лампочки, которые проработают по 500 часов;

б) две лампочки, которые не проработают по 500 часов;

в) только одну лампочку, которая проработает 500 часов;

г) хотя бы одну лампочку, которая проработает 500 часов?

2) Найти вероятность, что наудачу взятая лампочка будет лампочкой со второго завода, если она проработала 500 часов.

Решение

1) Обозначим события:

Н1 = {из первой партии выбрана лампочка с первого завода}

Н2 = {из первой партии выбрана лампочка со второго завода}

А = {из первой партии выбрана лампочка, которая проработает 500 часов}

События Нi - гипотезы, они несовместны и в сумме дают достоверное событие. Их вероятности по условию задачи:

P(Н1) = 0,45 (45%), P(Н2) = 0,55 (55%)

Нам заданы также условные вероятности события A при условии выполнения событий Нi:

         [pic 1][pic 2]

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:

[pic 3]

 [pic 4]

Поскольку первая и вторая партии не отличаются составом лампочек и вероятности безотказной работы – такие же, как и для первой партии, то вероятность того, что лампочка, выбранная из второй партии, проработает 500 часов – такая же. Таким образом, весь опыт можно рассматривать как последовательность 𝑛 = 2 независимых испытаний, в каждом из которых событие «выбрана лампочка, которая проработает 500 часов» наступает с одинаковой вероятностью 𝑝 = 0,7725. Тогда вероятность того, что это событие наступит ровно 𝑘 раз при 𝑛 испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли: