Задачи по "Математике"

Задача 1.

Отдел менеджмента одного из предприятий разрабатывает новую стратегию выпуска продукции. Известно, что при определенном технологическом процессе в среднем 77% всей продукции предприятия – высшего сорта, а всего производится 212 изделий. Стратегия, разработанная отделом менеджмента, основана на том, что предприятие будет рентабельным, если выпуск продукции высшего сорта будет составлять не менее 162 изделий. Оценить критически новую стратегию выпуска продукции, определив вероятность того, что предприятие будет рентабельным.

Решение:

Пусть событие [pic 1] - предприятие будет рентабельным, то есть выпуск продукции высшего сорта будет составлять не менее 162 изделий, то есть от 162 до 212 изделий. Используем интегральную формулу Муавра-Лапласа:

[pic 2],                [pic 3].

По условию задачи [pic 4], [pic 5], [pic 6], [pic 7], [pic 8]. Тогда искомая вероятность равна:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11].

Задача 2.

Дискретная случайная величина [pic 12] с математическим ожиданием [pic 13] задана рядом распределения:

а)        Найти [pic 18] и [pic 19];

б)        Построить многоугольник распределения;

в)        Построить интегральную функцию распределения [pic 20] и ее график;

г)        Вычислить дисперсию [pic 21], пояснить, как можно интерпретировать ее значение.

Решение:

Найдем [pic 22] и [pic 23], используя условие нормировки и определение математического ожидания:

[pic 24],

[pic 25],                [pic 26].

Тогда ряд распределения данной случайной величины имеет вид:

Для построения многоугольника распределения на оси абсцисс откладываем значения [pic 29], на оси ординат – соответствующие вероятности [pic 30], и соединяем полученные точки отрезками. Тогда многоугольник распределения имеет вид:

[pic 31]

Найдем интегральную функцию распределения [pic 32]:

[pic 33].

График интегральной функции распределения [pic 34] имеет вид:

[pic 35]

Дисперсия [pic 36] определяется формулой:

[pic 37]

[pic 38].

Дисперсию можно интерпретировать как меру разброса случайной величины относительно ее математического ожидания.

Задача 3.

В среднем за час автомойку посещает 7 клиентов. Найти вероятность того, что за два часа автомойку посетят не менее 12 клиентов, и вероятность того, что в течение как минимум 15 минут на автомойке не будет ни одного клиента. Число посетителей за час распределено по закону Пуассона, а время ожидания клиента распределено по показательному закону.

Решение:

Пусть событие [pic 39] - за два часа автомойку посетят не менее 12 клиентов. Противоположное событие [pic 40] - за два часа автомойку посетят менее 12 клиентов, то есть от 0 до 11 клиентов. Поскольку события [pic 41] и [pic 42] являются противоположными, то сумма их вероятностей равна единице. Используем формулу Пуассона для простейшего потока событий: