Задачи по "Математике"
Автор: Vladimir120 • Май 1, 2018 • Задача • 369 Слов (2 Страниц) • 410 Просмотры
1. Найти
[pic 1]
Решение
Функция f(t) = sh t – непрерывна, поэтому воспользуемся теоремой:
Если f(x) – непрерывная, φ(x), ψ(x) – дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x равна:[pic 2]
[pic 3]
В нашем случае
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Пользуясь формулой, получим:
[pic 8]
2. Найти точки экстремума функции
[pic 9]
Решение
Точки экстремума – это точки, в которых производная функции равна нулю. Для нахождения производной функции воспользуемся теоремой:
Если f(x) – непрерывная, φ(x), ψ(x) – дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x равна:[pic 10]
[pic 11]
В нашем случае
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Пользуясь формулой, получим:
[pic 16]
Найдем значения x, при которых производная равна нулю. Для этого решим уравнение:
[pic 17]
[pic 18]
Полученные значения x и будут точками экстремума функции.
3. Вычислить определенные интегралы
а)
[pic 19]
Решение
[pic 20]
b)
[pic 21]
Решение
[pic 22]
c)
[pic 23]
Решение
[pic 24]
d)
[pic 25]
Решение
[pic 26]
e)
[pic 27]
Решение
[pic 28]
f)
[pic 29]
g)
[pic 30]
Решение
[pic 31]
4. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.
a)
[pic 32]
Решение
[pic 33]
[pic 34]
Если , то x = 1. [pic 35]
Вычисляем площадь фигуры:
[pic 36]
b)
[pic 37]
[pic 38]
Решение
Данная система описывает астроиду:
[pic 39]
Так как указанная область состоит, из двух равных частей, площадь будем вычислять по формуле:
[pic 40]
Найдём границы интегрирования и .[pic 41][pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
Вычисляем площадь фигуры
[pic 52]
c)
[pic 53]
Решение
[pic 54]
Площадь фигуры, заданной в полярных координатах, равна:
[pic 55]
5. Вычислить длины дуг кривых, ограниченных графиками функций.
a)
[pic 56]
Решение
[pic 57]
[pic 58]
b)
[pic 59]
[pic 60]
Решение
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
c)
[pic 65]
Решение
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
6. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций [pic 70]
a) вокруг Ox; b) вокруг Oy.
[pic 71]
Решение
[pic 72]
Объём тела вращения вокруг оси Ox
[pic 73]
Объём тела вращения вокруг оси Oy
[pic 74]
7. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
a)
[pic 75]
Решение
...