Застосування комплексних чисел при розв’язанні задач з елементарної математики

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра вищої математики

КУРСОВА РОБОТА

з  

                                                вищої математика

на тему:  «Застосування комплексних чисел при розв’язанні задач з елементарної математики »

Студента(ки) ІІІ курсу групи МЕІ-31

напряму підготовки  6.040201 «Математика»

Луценя Б.В

м. Рівне – 2018 рік

ЗМІСТ

ВСТУП

Пункт 1. Історія виникнення та розвиток комплексних чисел ................3

Пункт 2. Застосування властивостей модуля комплексного числа до розв’язання арифметичних задач.........................................................................10

Пункт 3. Геометрична інтерпретація комплексних чисел та її застосування до розв’язання геометричних задач.............................................15

ВИСНОВКИ.................................................................................................26

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ..............................................….28

ВСТУП

Сучасну цивілізацію просто неможливо собі уявити без чисел. Ми стикаємося з ними щодня, виробляємо над ними десятки, сотні і тисячі дій за допомогою комп`ютерів. Ми так до цього звикли, що історія розвитку чисел нас абсолютно не цікавить, а багато хто про це просто ніколи і не замислювалися. Але без знання минулого ніколи не можна зрозуміти сьогодення, а тому завжди слід прагнути до осягнення витоків.

В програмі математики шкільного курсу вивчаються множини натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто сукупність дійсних чисел, які структурують числову вісь.

Така проблема виникає у процесі відшукання коренів квадратного рівняння, якщо дискримінант набуває від’ємного значення. Тому постає питання про розширення дійсних чисел комплексними, для яких квадратний корінь з від’ємного числа має сенс. Необхідність вивчення застосування комплексних чисел зумовлює актуальність цієї курсової роботи.

Мета курсової роботи – дослідити основні застосування звичайних комплексних чисел.

Реалізація даної мети зумовила необхідність постановки та вирішення таких завдань:

• комплексно обґрунтувати сутність поняття «комплексні числа»;
• розкрити сутність значущості комплексних чисел у вивченні математики;
• показати різноманітність застосування комплексних чисел.

Об’єктом дослідження є форми задання комплексних чисел і дій над ними.

Предметом дослідження є особливості застосування комплексних чисел.

 Пункт 1. Історія виникнення та розвиток комплексних чисел

 
          Першу згадку про комплексні числа можна віднести до 50 століття до нашої ери. Саме тоді Герон із Олександрії, будучи студентом, намагаючись обчислити об’єм піраміди зіткнувся з тим, що повинен був взяти корінь квадратний з рівності 81-144. Не володіючи знаннями про комплексні числа, Герон порахував це за неможливе і дуже швидко здався.

В 1543 році Джироламо Кардано(1501 – 1576), італійський математик і філософ, вперше виконав обчислення над «уявними» числами. Ця ідея прийшла до математика під час розв’язування рівнянь 3-го степеня.

 До речі, уявними комплексні числа у 1637 році назвав Рене Декарт(1596 – 1650),французький фізик, математик, основоположник аналітичної геометрії, який як і більшість математиків дійсно вважали їх уявними, хоча з роками все більше і більше ними користувалися. Г.Лейбніц (1702 р.) називав їх витонченим і чудовим притулком божественного духу, а Л. Ейлер, як і І. Ньютон, відносив корені з від’ємних чисел до неможливих чисел[23, ст.26].

В 1520 році професор математики Болонського університету Сціпіондель Ферро(1465 – 1526) - італійський математик знайшов спосіб розв’язання рівнянь виду х3+ах=b. Перед смертю він повідомив під великим секретом цей спосіб своєму учню Фіоре. Фіоре користувався правилом Ферро на математичних турнірах.

В 1535 році суперником Фіоре на турнірі виявився вчитель математики Ніколо Тарталья (1499 – 1557), італійський математик, ім’я якого пов’язане з розробкою способу вирішення кубічних рівнянь в коренях за кілька днів до турніру знайшов свій спосіб розв’язання подібних рівнянь.