Задачи по "Математике"

                                            ИДЗ 6.4 – Вариант 19

1. Решить следующие задачи

1.19  Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, у которого объем наибольший.

Решение:

Объем конуса [pic 1]

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: [pic 2]

Длина образующей [pic 3][pic 4]

Тогда площадь боковой поверхности [pic 5]

Найдем из полученной формулы высоту h:

                    [pic 6]

                    [pic 7]   (1)

Выражение высоты h подставим в формулу объема конуса:

[pic 8]

Найдем производную [pic 9] по r

[pic 10]

Приравняем производную к нулю, найдем радиус r основания конуса

[pic 11]

Вторая производная

 [pic 12]

 при подстановке значения [pic 13] дает [pic 14]

Следовательно, стационарная точка [pic 15] доставляет функции V максимум.

Найдем значение высоты h, подставим r в выражение (1):

[pic 16]

Ответ: радиус основания конуса [pic 17], высота [pic 18]

2. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики.

2.19   y = (x – 1)e3x+1

1. Область определения функции

[pic 19] вся числовая ось

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

При [pic 20],  [pic 21]. x = 1. В точке А(1; 0) пересекается график с осью OX

При [pic 22],  [pic 23]. В точке B(0; −2,72) пересекается график с осью OY

3. Четность, нечетность.

[pic 24] - функция ни четная, ни нечетная.

4. Вертикальные, наклонные асимптоты.

[pic 25];  Вертикальных асимптот нет

Находим наклонные асимптоты:

[pic 26]

[pic 27]

Наклонной асимптоты нет

5. Исследовать функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум.

[pic 28]

[pic 29][pic 30]

[pic 31]   

Точка возможного экстремума [pic 32]

Находим промежутки возрастания, убывания, подставляя значения соответствующие интервалам в полученную функцию [pic 33]. Исследуем интервалы

В интервале [pic 34],  [pic 35]- функция убывает на этом интервале,

[pic 36][pic 37]- функция возрастает на этом интервале,

[pic 38] - экстремум в точке [pic 39] имеет локальный минимум

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба.

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Исследуем [pic 43] на перегиб  

Находим промежутки выпуклости, вогнутости, подставляя значения соответствующие интервалам в полученную функцию [pic 44]. Исследуем интервалы

В интервале [pic 51],  [pic 52] кривая выпукла;  на интервале [pic 53], [pic 54] кривая вогнута

Точка перегиба  [pic 55]  [pic 56]

7. График функции

                        [pic 57]

3. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики.

3.19  [pic 58]