Задачи по "Математике"

Содержание

С.

Задание 2        3

Задание 12        4

Задание 22        6

Задание 32        7

Задание 42        8

Задание 52        9

Список использованной литературы        11

Задание 2

Выполнить действия над матрицами:

[pic 1]

Решение

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

C11 = A11 · B11 + A12 · B21 =  1 · 2 + 0 · 4 = 2 + 0 = 2

C12 = A11 · B12 + A12 · B22 = 1 · 1 + 0 · 5 = 1 + 0 = 1

C13 = A11 · B13 + A12 · B23 =  1 · 0 + 0 · 7 = 0 + 0 = 0

C21 = A21 · B11 + A22 · B21 = 2 · 2 + 7 · 4 = 4 + 28 = 32

C22 = A21 · B12 + A22 · B22 = 2 · 1 + 7 · 5 = 2 + 35 = 37

C23 = A21 · B13 + A22 · B23 = 2 · 0 + 7 · 7 = 0 + 49 = 49

C31 = A31 · B11 + A32 · B21 = 3 · 2 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10

C32 = A31 · B12 + A32 · B22 = 3 · 1 + 1 · 5 = 3 + 5 = 8

C33 = A31 · B13 + A32 · B23 =  3 · 0 + 1 · 7 = 0 + 7 = 7

[pic 2]

Задание 12

Вычислить определители по третьему столбцу:

[pic 3]

Решение

Найдем определитель, использовав разложение по 3-му столбцу:

Минор для (13):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец..

Получаем:

[pic 4]

Найдем определитель для этого минора.

[pic 5]

Минор для (23):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

[pic 6]

Найдем определитель для этого минора.

[pic 7]

Минор для (33):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

[pic 8]

Найдем определитель для этого минора.

[pic 9]

Определитель:

[pic 10]

Ответ: 210

Задание 22

Вычислить ранг матрицы:

[pic 11]

Решение

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-1). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

[pic 12]

Умножим 2-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

[pic 13]

Умножим 1-ую строку на (7). Умножим 2-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:[pic 14]

[pic 15]

Полученная матрица имеет размерность 3×5.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3

Ответ: rang(A) = 3

Задание 32

Проверить совместимость системы по теореме Кронекера-Капелли: