Задача по "Математике"

ЗАДАЧА 1

Решить и проанализировать задачу одномерной нелинейной оптимизации. Определить x при которых достигается минимум и максимум функции (60%). Определить минимальное и максимальное значения функции (30%). Кратко ответить на вопросы и продемонстрировать ответ

1) В каких точках необходимо искать локальные экстремумы функции одной переменной? Покажите это на основе решения (5%).

2) Что такое локальный экстремум? Покажите это на основе решения (5%). f(x)extr f(x)= 4x^2-4+56, x<3 f(x)=4+2x^2-16x, x>=3 2<=x<=14

AI

Для решения и анализа задачи одномерной нелинейной оптимизации мы должны найти точки, в которых достигаются минимум и максимум функции, а также определить соответствующие значения функции.

Необходимо искать локальные экстремумы функции в точках, где производная функции равна нулю или не существует.

Для данной задачи, у нас есть два участка функции, для которых мы должны найти критические точки:

Если x < 3, то f(x) = 4x^2 - 4 + 56 f'(x) = 8x Точка x = 0 является критической, но она не находится в интервале [2,14], поэтому мы можем проигнорировать ее.

Если x >= 3, то f(x) = 4 + 2x^2 - 16x f'(x) = 4x - 16 4x - 16 = 0 x = 4 - это критическая точка на интервале [2,14].

Локальный экстремум функции - это точка, в которой функция принимает локальный максимум или минимум. Локальный минимум функции - это точка, в которой функция принимает наименьшее значение на некоторой окрестности этой точки, а локальный максимум - точка, в которой функция принимает наибольшее значение на некоторой окрестности этой точки.

Для данной задачи, мы можем использовать вторую производную функции для определения типа локального экстремума.