Задача по "Математике"

Математика 4

Задание № 9

Вероятность того, что в магазине не окажется красной краски, равна 0,1, а того, что не окажется зеленой 0,2. Хозяин дома решил покрасить крышу, причем не принципиально в какой цвет. Найти вероятность того, что а) крыша будет покрашена, б) крыша не будет покрашена.

Решение:

Пусть событие «А» - крыша будет покрашена и «[pic 1]» - крыша не будет покрашена. Эти события противоположны, т.е.:

[pic 2]

Обозначим события:

А1 – в магазине была красная краска;

А2 – в магазине была зеленая краска.

По условию имеем:

Р(А1) = 1 – 0,1 = 0,9; Р([pic 3]) = 0,1

Р(А2) = 1 – 0,2 = 0,8; Р([pic 4]) = 0,2

Тогда, вероятность того, что крыша не будет покрашена:

[pic 5]

Откуда, вероятность того, что крыша будет покрашена:

[pic 6]

Ответ: [pic 7]; [pic 8]

Задание № 12

Семья решила воспользоваться каршеринговым сервисом, имеющим в своем распоряжении две марки автомобилей. Вероятность того, что сломается автомобиль первой марки, составляет 0,01, а второй 0,1, причем соотношение этих марок автомобилей в парке каршеринговой компании составляет 1:9. Взятый напрокат автомобиль сломался. Какова вероятность того, что это был автомобиль первой марки?

Решение:

Обозначим события и гипотезы:

Событие А – Взятый напрокат автомобиль сломался.

Гипотезы:

Н1 – Взятый напрокат автомобиль был первой марки;

Н2 – Взятый напрокат автомобиль был второй марки.

Вероятности событий:

[pic 9] [pic 10]

Р(А/Н1) = 0,01; Р(А/Н2) = 0,1

Для решения задачи воспользуемся формулой Байеса:

[pic 11]

Где Р(А) = Р(Н1)∙Р(А/Н1) + Р(Н2)∙Р(А/Н2)

Тогда, находим:

[pic 12]

Тогда, вероятность того, что взятый напрокат автомобиль был первой марки:

[pic 13]

Ответ: [pic 14]

Задание № 22

Каждое десятое яблоко в магазине испорчено. Какова вероятность того, что из 8 купленных наудачу яблок одно окажется испорченным?

Решение:

Событие А – из 8 купленных наудачу яблок одно окажется испорченным.

По условию задачи вероятность попадания испорченного яблока равна:

р = 1/10 = 0,1,

Значит, вероятность яблока без признаков порчи равна:

q = 1 – р = 1 – 0,1 = 0,9.

Воспользуемся формулой Бернулли:

[pic 15]

По условию имеем: n = 8, m = 1, p = 0,1, q = 0,9.

Тогда находим:

[pic 16]

Ответ: [pic 17]

Задание № 35

В озере водятся щуки и судаки в равной пропорции. Случайная величина Х – количество выловленных судаков из 4 пойманных рыб.

Составить ряд распределения случайной величины X и вычислить ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения.

Решение:

Случайная величина Х – количество выловленных судаков из 4 пойманных рыб, может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4.

Так как случайная величина Х имеет биномиальное распределение, значит, вероятности возможных значений находим по формуле Бернулли:

[pic 18]

По условию имеем:

[pic 19]

Тогда, находим:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Запишем закон распределения случайной величины Х:

Контроль: [pic 25]

Следовательно, закон распределения случайной величины Х составлен верно.