Шпаргалка по "Теория вероятностей"

1. Действия над событиями и их свойства

Сумма событий(А⊕В) - называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Свойства суммы:                            0-невозможное, никогда не произойдет

1. 1⊕1=1       4) А⊕А=А          1-достоверное
2. 1⊕0=1       5) А+=1             -противоположное, если не произошло событие А.[pic 1][pic 2]
3. 0⊕0=0       6) =         Р(А)+Р()=1[pic 3][pic 4][pic 5]

Сумма n-событий – А1+А2+…=, хотя бы одно из событий произошло[pic 6]

Совместные события - появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. (могут произойти одновременно)

Несовместимые, не могут произойти одновременно

Несколько событий называются попарно несовместные, если любые два из них несовместны.

[pic 7] попарно несовместные, если для [pic 8], где [pic 9], события [pic 10] и [pic 11] несовместны.

Произведение событий – А*В событие состоит в том, что оба произошли. 

Свойства произведения:

1. 1*1=1       5) А*0=0
2. 1*0=0       6) А*1=А
3. А*А=А    7) А*В=В*А
4. А*=0[pic 12]

B1,В2,…Вn образуют полную группу событий, если: 

1. они попарно несовместны    Bi*Bj=0 i≠j
2. хотя бы одно ил них произойдёт    B1+B2+…+Bn=1

Разность событий - А\B событие состоит в том, что произошло событие А, и не произошло событие В. Следствие А\В=А*      [pic 13]

Свойства разности:

1. АВ=0=>A\B=A            5) 1\0=1
2. AB≠0=>A\B=A\AB     6)A\A=0
3. BcA=>A\B=A*          7) 1\A=1[pic 14]
4. 1\1=0

1. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода

Несобственный интеграл 1 рода (бесконечный предел).

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;+∞). Предел интеграла   при b→+∞  называется несобственным интегралом функции f(x) от a до +∞ и обозначается. Если существует  =>[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Аналогично определяется и интеграл от функции по бесконечному промежутку (-∞;а] (если существует   => [pic 19]

[pic 20]

Можно определить и несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами, т.е. по промежутку (-∞;+∞).  :

[pic 21]

 где с – любое число.

Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения).

 Пусть f(x) и ϕ(x) непрерывны на [a;+∞) и 0 ≤ f(x) ≤ ϕ(x) , ∀x∈[c; +∞) (где c ≥ a). Тогда:

1) если - сходится, то тоже сходится, причем [pic 22][pic 23][pic 24]

2) если – расходится, то тоже расходится. [pic 25][pic 26]

ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) 

Пусть f(x) и ϕ(x) непрерывны и неотрицательны на [a;+ ∞). Если где h – действительное число, отличное от нуля, то интегралы М[pic 27][pic 28]

ведут себя одинаково относительно сходимости.

Несобственным интегралом второго рода от функции f(x)  , непрерывной на промежутке [a;b).  и имеющей бесконечный разрыв при x=b  , называется предел определенного интеграла  с переменным верхним пределом  при  :[pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Аналогично вводится несобственный интеграл второго рода от функции f(x)  , непрерывной на промежутке (a;b].    и имеющей бесконечный разрыв при x=a  :

[pic 33]

Можно определить и несобственный интеграл второго рода от функции f(x)  , имеющей бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке с промежутка [a;b] :

[pic 34]

1. Комбинаторика, основные понятия (перестановка, размещение, сочетание)

n∈N, n>2 m≤n, m∈N, n-число элементов некоторого множества.

Подмножество данного множества называется упорядоченным, если элементы проиндексированы. В противном случае неупорядоченным.