Шпаргалка по "Теории вероятностей"

1. Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания).

Упорядоченным называется множество в котором указан порядок следования элементов.

Размещением из n по k называется любой упорядоченный набор из k элементов множества A (k≤n)

Число таких размещений:

[pic 1]

Размещение из n по n - перестановка

= Pn=n![pic 2]

Сочетанием из n по k называется любой неупорядоченный набор из n элементов по k.

[pic 3]

2. Случайные события. Вероятность: статистическое определение.

Опытом называется исполнение заданного комплекса условий G.

Случайным называется событие А, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

В связи с некоторым опытом G нас интересует наступление случайного события А. Повторим опыт n раз. Число m – частота события А.

v=m\n

Есть события, для которых относительные частоты обладают определённого рода устойчивостью. При большом количестве испытаний n они стабилизируются около некоторого постоянного неслучайного числа. p≈v≈m/n.

p-вероятность такого события.

При этом справедливо неравенство

0≤p≤1

                                               0≤v≤1

3.Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности.

Возможные исходы w опыта G называются элементарными событиями, если их нельзя разложить на составляющие события.

        Элементарные события возникают исключительно, и в результате опыта G одно из них обязательно происходит.

        Совокупность всех элементарных событий опыта G называется пространством элементарных событий данного опыта. Ω - {w}

        Элементарное событие w благоприятное для данного события А, если его появление влечет наступление события А.

        Любое событие А, происшедшее в событии опыта можно рассматривать, как совокупность благоприятных для него элементарных событий.

        Достоверное – событие, которое при осуществлении опыта G точно произойдет. Для него все элементарные исходы благоприятны. P=1

        Невозможное – событие, которое не может произойти в результате G. P=0

Классической схемой называется опыт G в котором количество элементарных исходов конечно и все они равновозможны.

        Вероятность события А – отношение числа m (элементарных исходов, благоприятных для А) к числу n (всем элементарным исходам данной схемы)

P(A)=[pic 4]

4.Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

В случае бесконечного количества возможных элементов исходов G пространство элементов событий этого опыта можно представить в виде некоторого множества Ω в пространстве, при этом под пространством понимается один из вариантов (R, n). R – прямая, R2 – плоскость. Тогда элементы события – точки, заполняющие множество Ω, а любому событию А соответствует некоторое подмножество Ω.

Вероятностью события А называется отношение меры множества А к мере всего множества Ω

P(A)=[pic 5]

        Задача о встрече.

2 человека договорились встретиться. Каждый из них приходит в течении часа и ждет 20 минут. Найти вероятность их встречи.

пусть х – первый человек; у – второй[pic 6]

0≤х≤1

0≤у≤1

Событие А={встреча} случится, если расстояние между приходами ≤1\3

|x-y|≤1\3

-1/3≤x-y≤1/3

{  y≤x+1/3

{  y≥x-1/3

P(A)==S(A) = 5/9[pic 7]

5.Действия над событиями. Диаграммы Венна.

Пусть некоторому опыту G соответствует пространство элементов событий Ω, которые мы будем изображать в виде квадрата единичной площади.