Контрольная работа по "Теория вероятности"

ТВ и МС

Вариант 9

1. Бросают игральную кость. Пусть событие  – выпадение четного числа, а событие  – выпадение числа, большего 5. Что представляют собой события , ,  , , ? Какие элементы пространства элементарных исходов данного опыта им благоприятствуют?[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Решение

На игральную кость нанесены числа от 1 до 6. Следовательно, наступлению события  благоприятствуют выпадения 2,3 или 4 очков, а событию  всего одно событие – выпадение 6. Событие  выпадение нечетных чисел, т.е. данное событие состоит из благоприятствующих ему элементарных исходов: выпадение чисел 1, 3 и 5. Событие  выпадение чисел не больших 5, т.е. данное событие состоит из благоприятствующих ему элементарных исходов: выпадение чисел 1, 2, 3, 4 и 5. выпадение четных чисел и чисел, больших 5: 2, 4, 6, т.е.   выпадение четных чисел, которые больше 5 – это выпадение одного числа – 6.[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

 из множества четных чисел удаляется 6 – поучим два числа 2  4.  из множества, состоящего из одного числа 6, удаляются четные числа, т.е. .[pic 16][pic 17][pic 18]

        2. Бросают две игральные кости. Найти вероятность события , когда сумма выпавших очко рана 8, и события , когда произведение выпавших очков равно 4.[pic 19][pic 20]

        Решение

        Всего равновероятных событий  Событию  благоприятствуют выпадение на костях чисел: 1 и 7, 7 и 1, 2 и 6, 6 и 2, 3 и 5, 5 и 3, 4 и 4, всего - . Тогда по классическому определению вероятности:[pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

Событию  благоприятствуют выпадение на костях чисел: 1 и 4, 4 и 1, 2 и 2, всего - . Тогда:[pic 25][pic 26]

[pic 27]

        Ответ.  [pic 28][pic 29]

        3. Случайным образом выбирают 3 шара из 11, среди которых 3 белых и 8 черных. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется два белых шара.

        Решение

        Всего количество способов, которыми можно выбрать три любых шара из 11 равно числу сочетаний . 2 белых из 3 и один черный из 8  можно выбрать  количеством способов.[pic 30][pic 31]

        Тогда вероятность того, что среди выбранных окажется два белых шара найдем по формуле:

[pic 32]

        Ответ. 0,15.

        4. Два независимых события  наступают с вероятностями 0,7 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что наступит: а) хотя бы одно событие; б) ровно одно событие.[pic 33]

        Решение

        Пусть  вероятность наступления события  , тогда  вероятность того, что данное событие не наступит. Аналогично,  вероятность наступления события  , тогда  вероятность того, что данное событие не наступит.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Найдем вероятность того, что наступит: а) хотя бы одно событие:

[pic 40]

б) ровно одно событие:

[pic 41]

Ответ. а) 0,94; б) 0,38.

5. В группе 20 студентов: 2 отличника, 2 хорошиста, 12 троечников и 4 двоечника. Отличники учат 100% экзаменационных билетов, хорошисты – только 80%, троечники – 60%, двоечники – только 40%. Найти вероятность того, что взятый наугад студент этой группы сдаст экзамен. Если некий студент данной группы  сдал экзамен, то какова вероятность того, что он является одним из 12 троечников?

Решение

Пусть событие  –  взятый наугад студент группы сдаст экзамен. [pic 42]

Гипотезы: взятый наугад студент оказался:  – отличником,  хорошистом,  троечником и  двоечником. Вероятности гипотез равны:  [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

По условию задачи вероятность того, что отличник сдаст экзамен - ; хорошист сдаст экзамен - , троечник сдаст экзамен -  и двоечник сдаст экзамен [pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

По формуле поной вероятности найдем вероятность того, что взятый наугад студент этой группы сдаст экзамен: