Шпаргалка по "Теории вероятностей и математической статистике"

1. Точечные оценки параметров распределения, их свойства.

Точечные оценки – это статистические оценки неизвестных параметров распределения, основанные на конечной выборке данных. Они позволяют приблизительно оценить истинные значения параметров распределения на основе имеющихся данных.

Основные свойства точечных оценок:

1. Несмещенность. Математическое ожидание точечной оценки должно быть равно истинному значению оцениваемого параметра.
2. Эффективность. Точечная оценка должна иметь минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок.
3. Состоятельность. При увеличении объема выборки точечная оценка должна стремиться к истинному значению параметра.

Наиболее распространенные точечные оценки параметров:

• Оценка математического ожидания – выборочное среднее.
• Оценка дисперсии – выборочная дисперсия.
• Оценка среднеквадратичного отклонения – выборочное среднеквадратичное отклонение.

Пример оценки параметров нормального распределения:

Имеется выборка объема n из нормального распределения. Требуется оценить математическое ожидание μ и дисперсию σ^2.

Оценкой μ будет выборочное среднее:

μ̂ = (Σxi)/n

Оценкой σ^2 будет выборочная дисперсия:

σ̂^2 = Σ(xi – μ̂)^2/(n – 1)

Эти точечные оценки являются несмещенными и состоятельными. При увеличении объема выборки они сходятся к истинным значениям параметров распределения.

1. Функция распределения системы случайных величин, ее свойства.

Функция распределения F(x1,x2,...,xn) системы случайных величин X1, X2, ..., Xn определяется как вероятность совместного выполнения неравенств:

X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn,

где x1, x2, ..., xn – произвольные действительные числа.

Основные свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(x1,x2,...,xn) ≤ 1 при любых значениях аргументов. Это следует из определения функции распределения как вероятности.
2. F(x1,x2,...,xn) неубывает по каждому из аргументов. Увеличение любого из xi приводит к ослаблению условия в определении F и росту вероятности.
3. При xi, стремящемся к -∞, F(x1,x2,...,xn) стремится к 0. При xi, стремящемся к +∞, F(x1,x2,...,xn) стремится к 1. Это следует из свойства монотонности функции распределения.
4. F(x1,x2,...,xn) непрерывна слева по каждому аргументу. Малое изменение xi в меньшую сторону практически не меняет условие в определении F.

Для независимых случайных величин функция распределения равна произведению одномерных функций распределения:

F(x1,x2,...,xn) = F1(x1)F2(x2)...Fn(xn),

где Fi(xi) – функция распределения i-й случайной величины. Это следует из определения независимости случайных величин.

Функция распределения полностью характеризует совместное распределение системы случайных величин. По ней можно найти числовые характеристики этого распределения, такие как математическое ожидание, дисперсия, ковариация и др.

1. Плотность распределения системы случайных величин, ее свойства, график.

Плотность распределения (или плотность вероятности) f(x) – это функция, которая показывает вероятность попадания случайной величины в некоторый малый интервал вокруг значения x. Формально плотность распределения определяется как:

f(x) = lim(Δx→0) (P(x ≤ X ≤ x + Δx) / Δx)

Где P(x ≤ X ≤ x + Δx) – вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала [x, x + Δx].

Основные свойства плотности распределения:

1. f(x) ≥ 0 при любых значениях x (плотность не может быть отрицательной)
2. Интеграл от f(x) на всей числовой оси равен 1: ∫f(x)dx = 1 Это следует из определения вероятности: сумма вероятностей всех событий должна быть равна 1.
3. Для непрерывной случайной величины X вероятность попадания в интервал [a, b] вычисляется по формуле: P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx

То есть под интегралом от плотности распределения находится вероятность события.

Пример графика плотности распределения – плотность нормального распределения (или гауссово распределение):

Как видно из рисунка, плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, максимум в точке математического ожидания. Площадь под кривой на любом интервале числовой оси дает вероятность попадания случайной нормально распределенной величины в этот интервал.[pic 1]