Теория вероятностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П.КОРОЛЕВА»

(САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Расчетная работа №1

«Теория вероятностей»

Вариант 13

Самара 2018

Задание 1:

Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти карты будут разных мастей.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности.

Определение: вероятностью P(A) события А называется отношение  числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.[pic 1]

[pic 2]

Событие А – вытащенные четыре карты будут разных мастей.

Число всех элементарных событий (n) найдем как число различных сочетаний без повторений из n элементов по m (т.е. выбор без возвращения и без учета порядка), используя одну из основных формул комбинаторики:

[pic 3]

n = 52 – всего карт;

m = 4 – т.к. из колоды вынимают четыре карты.

Следовательно:

[pic 4]

Число благоприятствующих событий (m) найдем следующим образом:

Способов вынуть первую карту так, что она окажется одной из четырех мастей – 4 (т.к. мастей в колоде всего 4).

Способов вынуть вторую карту так, чтобы она была одной из трех мастей, отличных от первой карты, - 13 (т.к. в колоде по  [pic 5]

Аналогично с двумя оставшимися картами: третью карту, учитывая условия, можно вынуть 13 способами, как и последнюю карту – тоже 13 способами.

Следовательно:

[pic 6]

    Таким образом, получим:

[pic 7]

Ответ: 0,033

Задание 2:

При покупке шоколадок вероятность обнаружить внутри упаковки призовой купон равна 1/7. Куплено 5 шоколадок. Найти вероятность того, что призовой купон будет только в одной из них.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Бернулли:

[pic 8]

где p = 1/7 – вероятность обнаружить внутри упаковки призовой купон;

q = 1 - 1/7 = 6/7 – вероятность того, что событие p не наступит;

k = 1 – количество раз, при которых событие  наступит;[pic 9]

n = 5 – количество испытаний (т.к. куплено 5 шоколадок, а открытие одной шоколадки считаем за одно испытание);

Pn(k) = P5(1) – вероятность того, что призовой купон будет только в одной из 5 шоколадок;

 - число различных сочетаний без повторений из n элементов по k[pic 10]

Таким образом, получим:

[pic 11]

Ответ: 0,386

Задание 3:

Фирма собирается заключить контракт на поставку оборудования для производства упаковочных материалов. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. По оценкам экспертов вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта данной фирмой?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

Теорема: вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

[pic 12]

где H1, H2, …, Hn – гипотезы события А.

H1 – конкурент выдвинет свои предложения; ;[pic 13]

H2 – конкурент не выдвинет свои предложения; ;[pic 14]

Событие А – контракт будет заключен данной фирмой;