Теория вероятности

Задание 1. Студент, отправляясь на экзамен, подготовил ответы на 30 вопросов из 50. Найти вероятность того, что из трех заданных ему вопросов он ответит хотя бы на два.

Решение:

Пусть [pic 1] — событие, состоящее в том, что студент ответит на два из заданных трех вопросов, [pic 2] — он ответит на все три вопроса. Тогда, если А — ответит хотя бы на два вопроса, то [pic 3]. События [pic 4] и [pic 5]несовместны. По классическому определению вероятности:

Воспользуемся формулой:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Ответ: вероятность того, что из трех заданных вопросов студент ответит хотя бы на два составляет 0,6510

Задание 2. В коробку с двадцатью новыми батарейками случайно попали пять использованных. Из коробки наугад извлекается батарейка и вставляется в устройство. Вероятность того, что за месяц разрядится новая батарейка, равна 0,1, а для использованной такая вероятность равна 0,9. Устройство проработало в течение месяца. Какова вероятность того, что в нем была использованная батарейка.

Решение:

Введем полную группу гипотез:

[pic 10] - из коробки извлекли новую батарейку

[pic 11] - из коробки извлекли использованную батарейку

Вероятности гипотез найдем как отношение числа новых и использованных батареек к общему числу батареек:

[pic 12]

[pic 13]

Введем событие [pic 14] - устройство проработало в течение месяца.

По условию даны вероятности того, что батарейки разрядятся, откуда найдем:

[pic 15]

[pic 16]

Найдем вероятность события [pic 17] - вероятность того, что в течение месяца устройство проработало:

[pic 18]

Найдем вероятность того, что в устройстве была использованная батарейка:

[pic 19]

Ответ: [pic 20]

Задание 3. Собеседование при приеме на работу в крупную международную компанию состоит из четырех этапов: (I) проверка владения иностранным языком, (II) уровень владения компьютером, (III) профессиональный уровень (IV) беседа с одним из руководителей. Если соискатель какой – то этап не прошел, то к следующему он не допускается.

Студенты одного престижного вуза, как показала практика, проходят успешно с вероятностью 0,8, 0,7, 0,6 и 0,3 соответственно.

Составить закон распределения случайной величины – числа этапов, которые студент данного престижного вуза пройдет успешно.

Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.

Решение:

Возможные значения данной случайно величина: 0,1,2,3,4, где

0 – первый этап не пройден;

1 – успешно пройден первый этап, второй этап не пройден

2 – успешно пройден первый, второй этапы, третий этап не пройден;

3 – успешно пройден первый, второй, третий этапы, четвертый этап не пройден;

3 – успешно пройдены все четыре этапа.

Введем события [pic 21], [pic 22],[pic 23] и [pic 24], состоящие соответственно в прохождении 1,2,3 и 4 этапов. Вычислим вероятность следующих событий:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

В результате получим распределение случайной величины: [pic 30]

Проверим выполнение основного свойства закона распределения:

0,2+0,24+0,224+0,2352+0,1008=1

Построим функцию распределения. Из вида закона распределения дискретной случайной величины [pic 33] вытекает, что ее пять возможных значения разбивают числовую ось на шесть промежутков. 

Найдем функцию распределения на каждом из них.

Для любого [pic 34], принадлежащему промежутку [pic 35], по определению функции распределения следует, что