Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы

теории вероятностей

     Рассмотрим ряд теорем и утверждений, которые устанавливают условия, при которых совокупное воздействие множества факторов приводит к результату, не зависящему от случая и устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними.

Теорема 1: (неравенство Чебышева)

                 Если с.в. Х имеет м.о. МХ и дисперсию DX, то для любого положительного числа ε справедливо неравенство:          [pic 1].

Неравенство Чебышева можно записать в другой форме: [pic 2], в которой устанавливается верхняя граница вероятности события. Предыдущий вид устанавливает нижнюю границу.

     Неравенство Чебышева, можно использовать для грубой оценки вероятностей событий, связанных со с.в., распределение которых неизвестно. Неравенство дает оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа ε. Если ε достаточно мало, то мы оценим, т.о., вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию.

     Оценку вероятности попадания с.в.Х в промежуток [ε;∞) дает неравенство Маркова.

Теорема 2: (неравенство Маркова)

                  Если возможные значения с.в.Х  неотрицательны и ее м.о. MX, то для любого ε >0,   справедливо неравенство: [pic 3].

Неравенство Маркова можно записать в форме [pic 4].

Пример 1: Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего м.о. по абсолютной величине менее, чем на 200.

 Пример 2: Среднее число дождливых дней в году в данном районе равно 80.  Оценить вероятность того, что в этом районе будет не более 100                    дождливых дней в году.

Теорема 3: (закон больших чисел в форме П.Л. Чебышева)

                   Если случайные величины [pic 5],   независимы, имеют м.о. [pic 6] и дисперсии [pic 7], ограниченные одним и тем же числом С>0, то для любого числа ε>0 выполняется неравенство: [pic 8]. Отсюда следует, что [pic 9]. Здесь [pic 10],[pic 11].

                     Если все случайные величины [pic 12] имеют одно и то же м.о. [pic 13], то неравенство примет вид [pic 14].

      Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их м.о. будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

     Последнее неравенство теоремы Чебышева обосновывает «принцип среднего арифметического с.в. [pic 15]», постоянно используемый на практике. Так, пусть произведено n независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой а (оно неизвестно). Результат каждого измерения есть с.в. [pic 16]. Согласно следствию, в качестве

приближенного значения величины а можно взять среднее арифметическое результатов измерений: [pic 17]. Равенство тем точнее, чем больше п.

     Ha теореме Чебышева основан также широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого в том, что о качестве большого количества однородного материала можно судить по небольшой его пробе.

     Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями. Или определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.