Теория вероятностей. Случайные события

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Раздел 1. Элементы комбинаторики

Задание 1 к разделу 1

1. В лотерее призер определяется путем извлечения из барабана билетов, содержащих двузначные числа, первое из которых означает ряд, а

второе место, занимаемое призером в зале. Сколько можно составить таких билетов?

Решение:

Всего двузначных чисел существует 90 (от 10 до 99), следовательно, первое двузначное число, обозначающее ряд, можно записать в билет 90 способами, и второе двузначное число, обозначающее место, тоже можно записать 90 способами. Так как на каждый из 90 способов записи для первого числа существует 90 способов записи второго числа, то, по правилу произведения, всего возможных способов составить билет из двух двузначных чисел существует n = 90⋅90=8100.

Ответ: n = 8100 билетов.

Раздел 2. Случайные события и вероятности

Задание 1 к разделу 2

а) В корзине содержится k красных шаров из n шаров различного цвета.

Наугад вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажутся 1) все 5 красных; 2) только 3 красных; 3) только 1

красный; 4) ни одного красного.

n = 55 ,  k = 40

Решение:

Будем решать эту задачу с помощью классического определения вероятности  
                                                         [pic 1],  где
n - количество всевозможных исходов.
m - количество благоприятных исходов.

1) Пусть событие А – среди пяти извлеченных шаров окажутся все 5 красных.

Всего шаров – 55, из них взято наудачу – 5 шаров.

Найдем количество всевозможных исходов, т.е. количество способов, которыми можно выбрать 5 шаров из 55-ти:

[pic 2].

Здесь использована формула:  количество разных комбинаций из п элементов по k, то есть сочетаний, которые отличаются составом элементов при произвольном порядке следования, вычисляется по формуле:

[pic 3]

Найдем число благоприятных исходов, при которых из 5 наугад взятых шаров все 5 окажутся красными.
       В корзине есть 40 красных шаров. Выбрать из них 5 красных шаров  можно [pic 4] способами, это число благоприятных исходов:

[pic 5].

Следовательно,

[pic 6].

2) Пусть событие В – среди пяти извлеченных шаров окажутся только 3 красных.

Число всевозможных исходов то же самое: n = 3478761.

В корзине есть 40 красных шаров и 15 шаров других цветов. Нужно выбрать из них 3 красных шара и 2 шара другого цвета. Таким образом, выбираем 3 красных шара из 40-ка, а два других – из 15-ти шаров. Тогда число благоприятных исходов:

[pic 7].

Следовательно,

[pic 8].

3) Пусть событие С – среди пяти извлеченных шаров окажется только 1 красный.

Число всевозможных исходов то же самое: n = 3478761.

В корзине есть 40 красных шаров и 15 шаров других цветов. Нужно выбрать из них 1 красный шар и 4 шара других цветов. Таким образом, выбираем 1 красный шар из 40-ка, а 4 других – из 15-ти шаров. Тогда число благоприятных исходов:

[pic 9].

Следовательно,

[pic 10].

4) Пусть событие D – среди пяти извлеченных шаров не окажется ни одного красного.

Число всевозможных исходов то же самое: n = 3478761.

В корзине есть 15 шаров других цветов. Нужно выбрать из них 5 шаров. Тогда число благоприятных исходов:

[pic 11].