Теория вероятностей

Теория вероятностей — раздел математики, который изучает количественные оценки случайных событий для прогнозирования процессов и явлений в будущем. Основой таких прогнозов являются числовые данные, накопленные в результате наблюдений в реальной жизни. Часто подобных наблюдений  много и  возникает задача их компактного описания с использованием различных показателей и графиков. Эта совокупность показателей и графиков относится к средствам описательной статистики – раздела науки статистики, которая занимается сбором, изучением и обработкой этих данных, на основе законов теории вероятностей.

Описательная  одномерная статистика обеспечивает простой путь для организации и систематизации выборочных данных. Эта организация данных использует гистограмму, которая есть график таблицы частот, то есть таблицы, регистрирующей, как часто наблюдаемые данные попадают в определенные интервалы значений. Таблица частот и гистограмма дают представление о законе распределения изучаемой величины. Статистическое описание данных в общем случае начинается с анализа гистограммы.

Для числовых данных важнейшие особенности большинства распределений могут быть представлены с помощью нескольких показателей описательной статистики. Эти показатели можно разделить на три группы:

1. характеристики положения – описывают положение данных на числовой оси - выборочные  среднее, медиана, мода, минимум, максимум, квантили и квартили;
2. характеристики рассеивания - описывают степень разброса данных относительно своего центра – выборочные дисперсия, среднеквадратическое отклонение, размах выборки;
3. характеристики формы - выборочные коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса, положение выборочной медианы относительно выборочного среднего и относительно выборочных квартилей.

Средние характеристики числового ряда: мода и медиана.

Пример 1.Пусть ученик получил в течение года следующие отметки по алгебре:5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Какую четвертную отметку поставит ему учитель?

Многих школьников волнует подобная проблема, и чаще всего ученики решают ее следующим естественным образом: складывают все отметки и делят сумму оценок на их количество. В нашем случае:(5 + 2 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5) / 10 = 4,4.Число 4,4, которое получается в результате, называется средним арифметическим. Поскольку такую оценку в журнал ставить не принято, учитель, скорее всего, округлит ее до 4.

Средним арифметическим (или выборочным средним) ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Среднее арифметическое, конечно, является важной характеристикой ряда чисел, в нашем случае — отметок за четверть, но иногда полезно рассматривать и другие средние. Например, претендуя на «5», ученик наверняка будет использовать такой аргумент: «Чаще всего в четверти я получал пятерки!». Статистик в этом случае сказал бы иначе: «Модой этого ряда является число 5».

Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что оно в этом ряду самое «модное». В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть.

Например, пусть тот же ученик получил по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у этого ряда нет моды. А вот среднее арифметическое, конечно, есть: (4 + 2 + 3 + 5) : 4 = 3,5.Такой показатель, как мода, можно использовать не только в числовых рядах.

Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных. Это одна из причин, по которой мода широко используется при изучении спроса.