Теория вероятностей

к/р Теория вероятностей.

1. Из группы в 10 человек необходимо выбрать двух: одного для работы летом в приемной комиссии, другого – в помощь деканату. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Поскольку мы выбираем двух человек на различные должности, то является важным, кого мы выберем первым, а кого – вторым. Для решения данной задачи используем формулу размещения без повторений:

[pic 1]способов.

Другими словами, чтобы выбрать из десяти человек первого у нас есть 10 способов, а чтобы выбрать второго – 9 способов, а общее число вариантов = 90 способов.

2. Директор фирмы заключил 10 договоров. Пять из них, вопреки советам юриста он заключил с нарушением налогового законодательства. Найти вероятность того, что при налоговой проверке среди наудачу взятых пяти договоров, три окажутся без нарушений законодательства?

Решение.

Вероятность определяется по формуле [pic 2], где [pic 3] - количество способов выбрать 5 договоров, среди которых 2 с нарушениями и 3 без нарушений;

[pic 4] - количество способов выбрать 5 договоров из 10 имеющихся.

Рассчитаем [pic 5]:

[pic 6]

Вычислим сколькими способами можно выбрать 2 договора с нарушениями. Поскольку всего договоров с нарушениями было 5, то с помощью формулы сочетания без повторений получим:

[pic 7]

Вычислим сколькими способами можно выбрать 3 договора без нарушений. Поскольку всего договоров без нарушений было 5, то с помощью формулы сочетания без повторений получим:

[pic 8]

Тогда, [pic 9]

Вероятность [pic 10]

3. Ведутся поиски 5 преступников. Каждый из них независимо от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью . Какова вероятность того, что в течении суток будет обнаружен: а) хотя бы один преступник; б) ровно два преступника; в) не менее двух преступников.[pic 11]

Решение.

а) Воспользуемся вероятностью обратного события, т.е. вычислим вероятность того, что ни один из преступников не будет пойман:

Поскольку вероятность поимки каждого преступника [pic 12], тогда вероятность того, что преступника не поймают, для каждого равна [pic 13]

Вероятность того, что не поймают всех пятерых преступников:

[pic 14]

Таким образом, вероятность того, что поймают хотя бы одного преступника:

[pic 15]

б) ровно два преступника

Для начала определимся сколько пар преступников можно составить из пятерых.

[pic 16]

Искомая вероятность

[pic 17]

в) не менее двух преступников

В данном решении мы должны просуммировать вероятность поимки двух, трех, четырех или всех пятерых преступников. Однако проще вычислить вероятность обратного события, т.е. не поймают ни одного, либо одного преступника.

Вероятность того, что не поймают ни одного, мы уже вычисляли и она равна 0,33

Вероятность того, что поймают ровно одного преступника:

[pic 18]

Тогда вероятность того, что поймают не менее двух преступников

[pic 19]

4. Курсант производит 5 независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,2. Найти вероятность: а) двух попаданий; б) не менее двух попаданий; в) не более одного.

Решение.

В данной задаче мы имеем дело с повторными независимыми испытаниями, поэтому для решения будем использовать схему Бернулли.

а) вероятность двух попаданий

[pic 20]

б) не менее двух попаданий

Вычислим вероятность обратного события: не попадет ни разу или попадет ровно один раз

- вероятность того, что попаданий нет [pic 21]

- вероятность ровно одного попадания [pic 22]

[pic 23]

Тогда вероятность не менее двух попаданий

[pic 24]

в) не более одного.

- вероятность того, что попаданий нет [pic 25]

- вероятность ровно одного попадания [pic 26]