Решение задач на составление дифференциальных уравнений

Содержание

Введение .................................................................................................................. 3

Глава I. Краткие сведения по теории ................................................................... 5

1.1. Основные понятия ..................................................................................... 5

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ................................... 5

1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка ................................ 10

Глава II. Решение задач на составление дифференциальных уравнений ...... 13

1.1. Физические задачи на составление ДУ ................................................ 13

1.1. Геометрические задачи на составление ДУ ......................................... 18

Заключение ........................................................................................................... 22

Список литературы ............................................................................................... 23

3

Введение

Составление дифференциального уравнения изучаемого процесса

является одним из важнейших этапов исследования. Универсального метода

составления дифференциального уравнения не существует, поэтому можно

лишь дать некоторые общие указания.

При составлении дифференциального уравнения, решением которого

является функция y(x), необходимо выразить, насколько изменится эта

функция, когда независимая переменная х получит приращение x, т. е.

выразить разность y(x+ x)–y(x) через величины, о которых говорится в

задаче. Разделив эту разность на x и перейдя к пределу при x 0 , получим

дифференциальное уравнение, т.е. зависимость скорости изменения

величины у в точке х. Во, многих случаях указанная зависимость

определяется на основании закона или экспериментального факта,

установленного в той или иной области естествознания. При этом, в

частности, используется геометрический смысл производной (тангенс угла

наклона касательной) и ее физический смысл (скорость протекания

процесса).

При решении некоторых задач получаются уравнения, в которых

неизвестная функция входит под знак интеграла. Такие уравнения

называются интегральными. Они возникают при использовании

геометрического смысла определенного интеграла как площади

криволинейной трапеции и других интегральных формул (длина дуги кривой,

площадь поверхности и объем тела вращения, работа силы и т. д.). В

простейших случаях удается путем дифференцирования преобразовать

интегральные уравнения в дифференциальные.

Цель работы: рассмотреть задачи на составление дифференциальных

уравнений.

Задачи:

4

1) рассмотреть виды дифференциальных уравнений первого порядка и

их решения

2) рассмотреть виды и способы решений дифференциальных

уравнений второго порядка

3) привести примеры задач с их решением на составление

дифференциальных уравнений

5

ГЛАВА I. Краткие сведения по теории

1.1. Основные понятия

Уравнение, в котором неизвестная функция от одной переменной

входит под знак производной или дифференциала, называется

(обыкновенным) дифференциальным уравнением или д.у. (для краткости).

Порядком

...