Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        3

I. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого

      порядка методом Рунге-Кутта.        5

1.1 Идея метода Рунге – Кутта        5

1.2 Формулы Рунге – Кутта        8

1.3 Формула Рунге – Кутта четвертой степени        9

1.4 Метод Рунге – Кутта для системы обыкновенных дифференциальных    

       уравнений        12

II. Практическое применение метода Рунге -Кутта.        18

2.1 Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы двух

      уравнений        18

2.2  Алгоритм метода Рунге-Кутта (4-го порядка)        19

III. Прогрммная реализация метода Рунге – Кутта 4-го порядка для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.        20

3.1 Численное решение задачи на примере        21

Заключение        24

Список использованной литературы        25

Введение

Актуальность темы. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) находят все более широкое применение в математических моделях, разрабатываемых для моделирования процессов и явлений, происходящих в различных областях техники, науки и производства. Например: в механике — при моделировании процессов движения объектов; в биологии — при изучении процессов роста бактерий; в ядерной физике — при изучении процессов радиоактивного распада веществ; в химии — при исследовании протекания химических реакций и работы различных реакторов; в электротехнике, в задачах оптимизации экономических и других процессов и так далее. Одним словом, ОДУ является необходимым элементом и составной частью многих разрабатываемых математических моделей различных процессов и явлений. Поэтому изучение методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений является актуальной задачей современности.

Объект исследования:  обыкновенные дифференциальные уравнения.

Предмет исследования:  изучение численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-ого порядка.

Цель работы: изучить метод Рунге – Кутта 4-го порядка для решения  системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основные задачи работы:

- рассмотреть теоретические основы и практические подходы к программной реализации численных методов решения задачи Коши или начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и их систем;

-   рассмотреть процедуру поэтапной разработки программной реализации численного решения с применением формул Рунге – Кутта четвертой степени (четвертого порядка точности на одном шаге интегрирования).

Структура работы.  Работа состоит из введения, трех параграфов, выводов, списка использованной литературы (20 источников), содержит 26 страниц текста, 3 рисунка.

В введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель проводимых исследований, ставятся задачи исследования и приводится краткое содержание курсовой работы по разделам.

В первом параграфе исследуются вопросы теории, понятий и определения, основные формулы.

Во втром параграфе рассматриваются методы решения задач с помощью основных расчетных формул. Привиден алгоритм метода Рунге-Кутта (4-го порядка) для типового решения ОДУ.

В третем параграфе разрабатывается программное решение задачи на основании основных формул.

В заключении сформулированы основные результаты по итогам работы.

Методы исследования. В курсовой работе применяются такие общенаучные методы исследования, как  изучение, теоретический анализ литературы; наблюдение в естественных условиях (анализ); методический эксперимент (поиск, обучение, контроль).