Численные методы решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы задач Коши

Численные методы решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы задач Коши.

Дифференциальные уравнения, особенно нестационарные, - это такой подход, который позволяет делать модели прогностическими, то есть предсказывать по времени развития процессов. Это наиболее надежный прогностический метод, хотя моделей много (дискретные модели, дискретное отображение).

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Их условно можно разделить на 2 класса. 1. Системы уравнений первого порядка. Как минимум 2 уравнения должно быть. 2. Задачи типа Штурма – Лиувилля – краевые задачи порядка, выше первого (второй порядок, бывает четвертый, редко шестой порядок).

Метод фундаментальных систем.

  [pic 1]

Метод решения линейных задач отличается от метода решения нелинейных. Часто редуцируются методы решений линейных задач к методам решения нелинейных задач, бывает, что методы самостоятельны.

[pic 2]

Сюда необходимо поставить краевые условия.

0<x<L.

Краевые условия могут быть связанными на концах. Могут быть развязаны. На обоих концах.

R*u(0)+S*u(L)=Q

; R,S∈m(N*N)[pic 3]

Общее решение для данной системы уравнений хорошо применяется для решения систем линейных уравнений с переменными коэффициентами, если появляются нелинейности, приходится что-то здесь додумывать. В чистом виде нелинейные задачи всегда намного сложнее линейных. А самые интересные процессы и в физике, и в экономике – нелинейные.

Линейные задачи, как база для методов решения нелинейных задач. Нелинейные задачи сводить к решению нескольких линейных.

[pic 4]

Это решение с однородными начальными условиями. Сначала необходимо найти, как метод решения с однородными краевыми условиями.

Решение линейных систем уравнений можно искать в таком виде:

[pic 5]

Система неоднородных уравнений с ограниченными условиями

[pic 6]

Здесь начальные условия неоднородные. Суперпозиции дает нам их точное решение в случае простейших задач, то есть линейных.

Можно использовать численный метод. Дифференциальное уравнение – метод для решения задач Коши. Более реальный способ – метод Рунге-Кутты. Разного порядка аппроксимации.

[pic 7]

Это наиболее простой численный метод, его можно сделать более сложным, более точным.

Решение этой задачи в операторной форме

[pic 8]

Можно решать разными способами задачу, но при этом выписывать операторную задачу в таком решении.

Для задачи неоднородного уравнения можно поступить аналогичным образом.

[pic 9]

Есть стандартные программы, есть методы Рунге-Кутта, которые имеют другие названия высокого порядка точности, до 10 порядка точности, реально используются в жизни. Есть методы более высоких порядков точности, но там проблема в том, что можно сделать точность такую, что она будет конкурировать с машиной погрешности. Компьютер будет работать в холостую, на такую точность, на которую он не рассчитан.

Общий вид решения в операторной форме.

[pic 10]

Усложнение задач ничего не стоит, достаточно поставить какой-нибудь нелинейный коэффициент. Можно задачу не реализовывать. Проще упростить задачу, чтобы свести их к этим задачам.

Нужно учесть граничные условия, для вычисления коэффициентов, которые присутствуют в фундаментальной системе. Когда условия связаны – ситуация посложнее. Приходится решать систему алгебраических решений. Нет проблем, если не выше 10 порядка. Если задачи 4,5,6 и выше, то погрешность сказывается на решении. Иначе все решения будут неэффективными.

[pic 11]

Эта связанная система является системой алгебраических уравнений для определения коэффициентов альфа-катов, коэффициентов нашей фундаментальной системы. Это метод фундаментальных систем. Он очень прост для реализации компьютерной, программной.

Вычислительная математика – наука не простая. Всегда есть много подводных камней. Один подводный камень – система линейных уравнений может оказаться плохо обусловленной. Методы обуславливания систем очень активно используются. Грубо говоря, одна система уравнений заменяется на другую, но такую, чтобы решения оставались одинаковыми. В линейной алгебре этим пользуются постоянно. Хотя, бывают ситуации, когда и это не помогает. Если система хорошо обусловлена – проблем нет.