Решение задач дифференциальных уравнений
Автор: lolipochikname • Декабрь 18, 2018 • Контрольная работа • 2,465 Слов (10 Страниц) • 624 Просмотры
Оглавление
Реферат 2
Список заданий 3
Задание 1.21 5
Задача 2.24. 11
Задача 3.1 15
Задание 4.2 17
Задание 5. 24 19
Задача 6.1 23
Задача 7.30 24
Приложение 28
Список литературы 32
Реферат
В данной курсовой работе рассматриваются основные аспекты качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений на примере решения задач, посвященных нахождению особых точек и исследованию их характера для нелинейной автономной системы 2-го порядка; нахождению первого интеграла и построению фазового портрета нелинейного автономного уравнения 2-го порядка; исследованию устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения 4-го порядка с постоянными однородного уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами; построению функции Ляпунова для нелинейной автономной системы 2-го порядка; исследованию асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейной автономной системы 2-го порядка с помощью линеаризации правых частей (первого приближения); исследованию диссипативности нелинейной автономной системы 2-го порядка и существовании у нее циклов; приближенному построению с помощью метода малого параметра периодического решения нелинейного неавтономного уравнения 2-го порядка. Особое внимание уделено построению фазовых траекторий в окрестностях особых точек и фазового портрета.
Объем курсовой работы составляет 32 стр.
Список заданий
Задание 1.21
Найти особые точки следующих уравнений или систем. Определить их тип. Построить схематически фазовые траектории в окрестности каждой особой точки.
[pic 1]
Задание 2.24
Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости ().[pic 2]
[pic 3]
Задание 3.1
Найти общее решение уравнения.
[pic 4]
Задание 4.2
Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева
[pic 5]
Задание 5.24
С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению найти значения параметра [pic 6], при котором асимптотически устойчиво нулевое решение системы
[pic 7]
Задание 6.6
Используя теорему Пункаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы
[pic 8]
Задание 7.30
Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:
[pic 9]
Задание 1.21
Найти особые точки следующих уравнений или систем. Определить их тип. Построить схематически фазовые траектории в окрестности каждой особой точки.
[pic 10]
Решение
Для нахождения особых точек решим систему уравнений:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
То есть особыми точками являются точки:
.[pic 14]
Составим матрицу Якоби:
[pic 15]
Получим значение матрицы Якоби в особых точках:
[pic 16], [pic 17], [pic 18].
1)Для матрицы Якоби в особой точке найдем собственные значения:[pic 19][pic 20]
; [pic 21][pic 22]
Так как собственные значения матрицы - разного знака, то особая точка - точка типа “седло”. Для построения фазового портрета в окрестности точки найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы. Имеем:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
[pic 29][pic 30]
[pic 31][pic 32]
Согласно теореме 1.1[1], определяющей поведение траекторий нелинейной системы вблизи невырожденного положения равновесия, в зависимости от типа точки покоя системы существуют только две траектории системы, которые при асимптотически приближается к . Эти две траектории образуют непрерывную дифференцируемую кривую, касающуюся прямой P(прямая, проходящая в направлении собственного вектора ) в этой точке. Точно также существуют ровно две траектории, которые при асимптотически приближаются к точке , касаясь при этом прямой Q(прямая, проходящая в направлении собственного вектора )[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
...