Решение дифференциальных уравнений

Вариант 6

Задача 1.

Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

[pic 1]                   

Решение:

[pic 2]    ⇒   [pic 3]   ⇒   [pic 4]

         Это уравнение с разделяющимися переменными.

         Делим обе части на выражение  [pic 5]      ⇒

[pic 6]  ⇒

[pic 7]  – переменные разделены.

Интегрируем обе части:

[pic 8]  ⇒  [pic 9]  ⇒

[pic 10]  – общий интеграл дифференциального уравнения.

Ответ:    [pic 11].

Задача 2. Найдите решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

[pic 12]        , [pic 13]                                   (1)

Решение:

         Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида [pic 14] , где [pic 15] ; [pic 16].

Метод Бернулли:

Общее решение находим с помощью подстановки :

                    [pic 17]                                                                      (2)

тогда              [pic 18]                                                                     (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в заданное уравнение (1), получим:

[pic 19]   ,   или      [pic 20]         (4)

 Для определения функции ν(х) имеем уравнение:

[pic 21]                                                                                            (5)

Так как [pic 22]  , то уравнение (5) запишем в виде:

[pic 23]     ⇒      [pic 24]   .  

Проинтегруем это уравнение:

[pic 25]        ⇒         [pic 26]    ⇒   [pic 27]

Подставляем это выражение в уравнение (4). Учитывая равенство (5) , получим для определения функции  u(х) уравнение:

[pic 28]

Итак, общее решение уравнения (1) имеет вид:

[pic 29]   , таким образом,

[pic 30]      – общее решение дифференциального уравнения (1).

3) Находим решение задачи Коши, то есть частное решение, которое удовлетворяет начальному условию.

[pic 31] ⇒ при [pic 32] : [pic 33] .

Подставляем эти значения в общее решение дифференциального уравнения (1) :  

[pic 34]     ⇒     [pic 35]  ⇒    [pic 36],

тогда   [pic 37]  – решение задачи Коши.

Ответ:   [pic 38]    – решение задачи Коши.

Задача 3. Найдите частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

[pic 39]  ,  [pic 40]                                        (1)

Решение:

         Это  дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит функцию у , поэтому позволяет снизить его порядок путем подстановки [pic 41] ⇒ [pic 42]  ⇒

[pic 43]

Это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

                      [pic 44]                (2)

Используем подстановку: [pic 45] ⇒ 

[pic 46]        ⇒ [pic 47] ⇒ [pic 48] 

Подставляем это выражение в уравнение (2) :   [pic 49]  ⇒

[pic 50]   ⇒  [pic 51]  ⇒  [pic 52] – переменные разделены.

Интегрируем обе части: [pic 53].

Найдем оба интеграла отдельно.

1. [pic 54]
2. [pic 55]      ⇒

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]    ⇒   [pic 60]

Возвращаемся к переменной р, подставляя [pic 61] ⇒      [pic 62]  ⇒  

[pic 63]  – это общее решение  уравнения (2).

Возвращаемся к переменной  у :     [pic 64]   ⇒   [pic 65] ⇒

[pic 66].

Это общее решение уравнения (1). Находим частное решение, подставляя начальные условия в общее решение и в его производную:

[pic 67]

[pic 68]  ⇒  [pic 69]    ⇒   [pic 70]  ⇒  [pic 71]

[pic 72]    ⇒   [pic 73]    ⇒  [pic 74]  ⇒  [pic 75].