Метод сеток решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
Автор: kpm12 • Май 26, 2019 • Лабораторная работа • 2,347 Слов (10 Страниц) • 645 Просмотры
Тема: Метод сеток решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Цель: Научиться находить численное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности по явной двухслойной разностной схеме.
Задание 1. Решить в прямоугольнике [pic 1] задачу Коши методом сеток с помощью явной двухслойной разностной схемы. Шаг h по оси ох взять [pic 2], а шаг [pic 3] по оси [pic 4] выбрать из условия устойчивости.
В отчет по этому заданию включить:
- явную разностную схему, аппроксимирующую данную задачу Коши;
- обоснование выбора шага [pic 5] по оси [pic 6];
- алгоритм выполнения задания;
- программу по составленному алгоритму;
- тестовую задачу для проверки работы программы, её точное решение и решение, полученное по программе для этой задачи;
- таблицу значений решения задачи Коши в прямоугольнике D. Таблица должна состоять из 11 строк и 11 столбцов
- график решения задачи в D;
- выводы относительно полученных результатов
[pic 7]
[pic 8]
Решение. Явную двухслойную разностную схему, аппроксимирующую данную задачу, можно записать в виде:
[pic 9] (1)
[pic 10] (2)
Здесь [pic 11].
Выбираем шаг [pic 12]. Шаг [pic 13] выбираем из условия устойчивости явной двухслойной разностной схемы, аппроксимирующей данную задачу. В данном случае это условие: [pic 14]. Можно взять [pic 15]
Равенство (1) теперь можно переписать в виде:
[pic 16] (3)
Вычисления можно организовать по алгоритму, состоящему из следующих шагов.
1. Вычисляем значения [pic 17] по формуле (2) для значений [pic 18] от [pic 19] до [pic 20], где в нашем случае [pic 21].
2. Полагая в (3) [pic 22], вычисляем [pic 23] для значений [pic 24] от [pic 25] до [pic 26], затем, полагая в (3) [pic 27], вычисляем [pic 28] для значений [pic 29] от [pic 30] до [pic 31] и т. д., наконец полагая в (3) [pic 32] вычисляем [pic 33] для значений [pic 34] от 0 до [pic 35]. Таким образом, каждому [pic 36] [pic 37] соответствуют по формуле (3) значения [pic 38] для значений [pic 39] от [pic 40] до [pic 41].
Найденные значения [pic 42] решения [pic 43] для узлов [pic 44] располагаем в виде таблицы:
Таблица значений решения задачи Коши
t \ x | -1 | -0.8 | -0.6 | ……………….. | 1.0 |
0 | |||||
0.1 | |||||
0.2 | |||||
0.3 | |||||
….. | …… | …… | …… | ……. | ……. |
1 |
Работу составленной программы предварительно прове-ряем на аналогичной тестовой задаче:
[pic 45] (4)
с решением [pic 46]. Убедившись, что верно (с приемлемой точностью) решена тестовая задача, по этой же программе, внося в нее соответствующие изменения, решаем задачу Коши своего варианта.
...