Введение в математический анализ

Лекция № 1

Тема: Введение в математический анализ.

Цель лекции: Изучить важнейшие понятия математического анализа:  понятия предела и непрерывность функции, их свойства и действия над ними

Основные вопросы.

1. Определение функции. Основные понятия, относящиеся к определению функции.
2. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечно удаленной точке.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций.
4. Основные теоремы о пределах. Два замечательных предела.
5. Сравнение бесконечно малых. Применение бесконечно малых для вычисления пределов.
6. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
7. Операции над непрерывными функциями. Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

Литература:

1.    Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник.  Алматы.  2011.

2.  Невердовский В.Г. Основы математического анализа. Учебное пособие. АГА, 2012.

Краткое содержание лекции.

1. Определение функции. Основные понятия, относящиеся к определению функции.

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей свой области изменения Х, поставлено в соответствие по некоторому закону f единственное значению другой переменной величины у, то у называется функцией от х и обозначается [pic 1] 

 Множество значений независимой переменной Х называется областью определения, или областью существования функции. Обозначается D(f). Множество значений функции у называется областью изменения функции или областью ее значений. Обозначается Е(f). При этом эти множества могут быть открытыми, закрытыми интервалами или полуинтервалами.

Графиком функции [pic 2] называется множество точек плоскости [pic 3], абсциссами которых являются значения аргумента х, а ординатами – соответствующие значения функции f(x).

2. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции в                   бесконечно удаленной точке.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→[pic 4], если для любого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) >0, что для всех х, для которых выполняется неравенство [pic 5] будет выполняться неравенство

[pic 6]

В этом случае пишут [pic 7]

Иногда  для исследования поведения функции вблизи некоторых точек нужно знать, к чему стремится f(x),когда [pic 8], оставаясь правее [pic 9] (т.е. при [pic 10]) и когда [pic 11], оставаясь левее [pic 12] (т.е. при [pic 13]). Такие пределы функции называются соответственно правыми или левыми пределами функции в точке [pic 14]. Эти пределы обозначаются следующим образом: [pic 15] - предел справа; [pic 16]- предел слева.

Из условия существования обычного предела  [pic 17] следует, что существуют оба односторонние пределы [pic 18], [pic 19] и они равны [pic 20] Верно и обратное утверждение.

Предел функции обобщается и на тот случай, когда [pic 21] не есть конечное число, если ввести понятие окрестности бесконечно удаленной точки как множество всех значений х, для которых |x| > M, где М > 0 – произвольное число.

Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любого числа ε > 0 найдется такое число М = М(ε) >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x| > M, будет выполняться неравенство