Контрольная работа по "Математическому анализу"

№9 С помощью правил Крамера решить систему линейных уравнений. Сделать проверку:
Дано:

[pic 1]

Решение: найдем главный определитель

[pic 2]

[pic 3]

Заменим первый столбец на столбец свободных членов и найдем 1й определитель для x (Δ1)

[pic 4]

Аналогично найдем 2й определитель для y (Δ2)

[pic 5]

3 определитель для z (Δ3)

[pic 6]

Находим x

[pic 7]

Находим x2

[pic 8]

Находим x3

[pic 9]

Проверка:

[pic 10]

Ответ:[pic 11]

№34 C помощью тахеометрической съемки получены координаты пунктов земельного участка (в метрах). Сделать чертеж. Определить площадь и периметр земельного участка.

Дано:

Решение:

[pic 12]

Для нахождения площади участка разделим его на треугольники. Обозначим вершины A-G.

[pic 13]

Расстояние между точками A и B (длина отрезка AB) вычисляется по формуле:

[pic 14]

Найдем длину всех сторон участка:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Таким образом, периметр участка:

[pic 22]

Площадь участка найдем как сумму площадей треугольников. Для вычисления площадей найдем еще длины сторон отрезков [pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Площади треугольников вычислим по формуле Герона, используя полупериметр:

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Площадь участка равна сумме площадей треугольников:

[pic 34]

Ответ [pic 35]

№59 Найти производные следующих функций

а) [pic 36]

Производная суммы равна сумме производных от каждого слагаемого.

[pic 37]

[pic 38]

 [pic 39]

 – Константа. Производная константы равна 0. [pic 40]

В результате:

[pic 41]

[pic 42]

По правилу дифференцирования частного:

[pic 43]

Найдем каждую из производных:

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

в) [pic 47]

Сделаем замену:  [pic 48]

Тогда [pic 49]

[pic 50]

Сделаем обратную подстановку:

[pic 51]

Ответ:

№84 Исследовать функцию

[pic 56]

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел, так как функция степенная.[pic 57]

2) Интервалы мотонности и точки экстремума:

Первая производная функции:

[pic 58]

Производная существует в любой точке, то критические точки найдем при условии, что производная равна нулю.

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

...