Контрольная работа по "Математическому анализу"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

 высшего профессионального образования

«Забайкальский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ЗабГУ»)

Факультет дополнительного профессионального образования

Кафедра экономики и бухгалтерского учета

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине:

 «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

на тему « Вариант № 3»

Выполнил ст. гр. ЭК (БУ)д-16-1

Выходцева А. Я.

Проверил преподаватель кафедры математический анализ Игнатьева Н. В.

Чита

2017

         3. Вычислить производную:

а) [pic 1],  x > 0;

б) [pic 2];

в) [pic 3]

г) y = (x sinx)8 ln(x sinx);

д) x3 + y2 – cos(x + y4) = 5 tgy.

Решение.

а) [pic 4],  x > 0.

Используем правило дифференцирования сложной функции, а также другие правила дифференцирования и таблицу производных:

[pic 5]

Ответ: [pic 6].

б) [pic 7].

По правилу дифференцирования частного запишем:

[pic 8].

Используя правило дифференцирования суммы функций и таблицу производных, получим:

[pic 9].

Используя правила дифференцирования сложной функции и суммы функций, а также таблицу производных, получим:

[pic 10]

Окончательно запишем:

[pic 11]

Ответ: [pic 12].

в) [pic 13]

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле:

[pic 14].

Найдём производные от y и x по t:

[pic 15]

[pic 16]

Запишем производную [pic 17]:

[pic 18].

Ответ: [pic 19].

г) [pic 20].

Используем логарифмическое дифференцирование.

Найдём логарифм функции:

[pic 21].

Продифференцируем обе части уравнения по [pic 22], считая [pic 23] функцией от [pic 24]:

[pic 25];

[pic 26];

[pic 27];

[pic 28].

Ответ: [pic 29].

д) [pic 30].

В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной [pic 31] нужно продифференцировать по переменной [pic 32] обе части уравнения, считая при этом [pic 33] функцией от [pic 34], а затем полученное уравнение разрешить относительно [pic 35]:

[pic 36];

[pic 37];

[pic 38];

[pic 39];

[pic 40];

[pic 41].

Ответ: [pic 42].

13. Построить график функции с помощью дифференциального исчисления.

а) [pic 43]

Решение:

Область определения функции: [pic 44].

Производная функции: [pic 45]

[pic 46] при  [pic 47]. Производная не существует при [pic 48].

[pic 49] при [pic 50] – здесь функция возрастает.

[pic 51] при [pic 52] – здесь функция убывает.

[pic 53] – точка минимума функции, так как производная меняет знак с «–» на «+».

Вторая производная: [pic 54]

[pic 55] при [pic 56] – точка перегиба.

[pic 57] при [pic 58], значит, здесь функция выпукла.

[pic 59] при [pic 60], значит, здесь функция вогнута.

Вертикальные асимптоты: [pic 61]. Выясним наличие наклонных асимптот [pic 62].

[pic 63];    

[pic 64]

Следовательно, наклонная асимптота: [pic 65].  Строим график функции.

[pic 66]

б) [pic 67]

Решение:

Область определения функции: [pic 68]

Производная функции: [pic 69]

Для нахождения критических точек решим уравнение [pic 70], откуда [pic 71]. Эта точка делят область определения на интервалы, на которых производная сохраняет знаки «+» или «–».