Контрольная работа по "Математическому анализу"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования « Сибирский государственный университет геосистем и технологий) ( СГУГиТ)

Кафедра высшей математики

Контрольная работа

Дисциплина: Математический анализ

Выполнил: студ. гр. КЭМ-11у

Схоменко Е.Е.

Проверил  преподаватель:

                             Плюснина Е.С.                                                            

Новосибирск, 2017

Задача  2.1

Найти пределы:

А) =[pic 1][pic 2]

Б) [pic 3]

В) [pic 4]

Г) [pic 5]

Задача 2.2

Найти произведение , если функция y(x) задается так[pic 6]

А) [pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Б) у=[pic 10]

Прологарифмируем функцию:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

В) [pic 17]

Функция задана неявно. Дифференцируем обе части уравнение по х:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Г) [pic 21]

Функция задана параметрически.

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Задача 2.3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции [pic 26]

Решение:

Найдем критические точки функции из условия [pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

 значит на отрезке[-4;0]функция возрастает =>[pic 30]

• унаим=у(-4)=[pic 31]
• унаиб=y(0)=2

Задача 2.4

Провести полное исследование функции  и построить ее график.[pic 32]

Решение:

1. Область определения , так как х2+3≠0 при всех хϵR.[pic 33]
2. Четность –функция четная.[pic 34]
3. Функция непрерывна.
4. Асимптоты функции [pic 35]

у=0 – горизонтальная асимптота.

1. Нулей функция не имеет, y>0 при всех значениях х.
2. Интервалы монотонности и экстремумы.

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Функция возрастает при х ϵ(- и убывает при х ϵ[0;[pic 39][pic 40]

X=0 – точка максимума, f(0)=[pic 41]

1. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

[pic 42]

;         [pic 43][pic 44]

[pic 45]

Функция вогнута при [pic 46]

Функция выгнута при [pic 47]

Точки перегиба: х=1 и х=-1

f(1)=f(-1)=0,5.

1. Построение графика:

[pic 48]

Задача 2.5

Найти и построить область определения функции двух переменых.

[pic 49]

Решение:

:[pic 50]

[pic 51]

2y>-x2

y>-[pic 52]

Постоим область, все точки которой удовлетворяют неравенству. Уравнение у=-0,5х2 задает параболу с вериной в т. (0;0), проходящую через точки (2;-2) и (-2;-2).

[pic 53]

Проверим истинность неравенства прих=4, у=-2

-2>-1/2* 16

-2>-8 (верно)=> область, содержащая точку (-4, 2) – искомая.

Задача 2.6

Найти частные производные первого поядка.

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Задача 2.7

Найти наибольшее и наименьшее значение функции[pic 57]

Решение:

[pic 59][pic 58]

[pic 60]

стационарная точка, принадлежащая границе области.[pic 61]