Контрольная работа по "Математическому анализу"

[pic 1]

Решение.

Так как в записи общего члена ряда есть факториал ([pic 2]), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

[pic 3]

Значит, ряд сходится на промежутке (- e; e). Исследуем сходимость ряда на концах промежутка.

При [pic 4]получим ряд [pic 5]. При[pic 6]получим знакочередующийся ряд [pic 7]. 

Оба ряда расходятся: Первый -  по признаку сравнения с гармоническим рядом. Ряд, составленный из абсолютных величин второго ряда, расходится, т.к. повторяет первый ряд.

Ответ. Интервал сходимости данного ряда [pic 8].

[pic 9]

 [pic 10]

Решение.

Разложение периодической (период [pic 11]) функции имеет вид:

[pic 12]

в нашем примере период равен [pic 13], функция примет вид:

[pic 14]

где [pic 15] [pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Оба интеграла равны нулю.

[pic 19].

[pic 20]

Первый интеграл равен 0. Подынтегральная функция второго интеграла - четная как произведение двух нечетных функций, значит

[pic 21]

Подставляя полученные значения [pic 22] в формулу разложения функции в ряд Фурье, получим:

[pic 23]

Или   [pic 24]

[pic 25]

Решение.

Перепишем уравнение в виде [pic 26]. Пусть [pic 27]

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

[pic 28]

[pic 29]

Решение.

Решение. Структура решения линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:  [pic 30], где [pic 31] – общее решение однородного уравнения, u – частное решение неоднородного уравнения.

1. Для решения однородного уравнения составим и решим характеристическое уравнение.

      [pic 32]

1. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде [pic 33].  Имеем:

[pic 34]

Подставим в исходное уравнение и получим:

[pic 35]

Получили частное решение неоднородного уравнения [pic 36].

1. Общее решение исходного уравнения: [pic 37].
2. Найдем частное решение при заданных начальных условиях.

[pic 38]

Ответ.  Частное решение данного уравнения при заданных начальных условиях

              .