Контрольная работа по "Математический анализ"

Вариант 12

а) limx→∞ 2•x2+9•x+77•x2+3•x+7 = limx→∞ x2x2•2+9x+7x27+3x+7x2 = 27

б)

в) limx→2 4•x2-5•x-63•x2-7•x+2 = limx→2 (x-2)•(4•x+3)(x-2)•(3•x-1) = limx→2 4•x+33•x-1 = 115

г) limx→5 x2-8•x+154•x+5-5

Для выражения

4•x+5-5

сопряженным является

4•x+5+5

Умножим его на числитель и знаменатель.

limx→5 x2-8•x+154•x+5-5 = limx→5 (x2-8•x+15)(4•x+5+5)(4•x+5-5)(4•x+5+5)

Ответ:

Учитывая, что (a-b)(a+b) = a2-b2, получаем:

limx→5 (x-5)•(x-3)•(4•x+5+5)4•x-20 = limx→5 14•(x-3)•(4•x+5+5) = 5

д) limx→0 (tg(x3))3sin(2•x2)•arcsin(x5)

Используем свойство первого замечательного предела:

limx→0 sin(x)x = 1

tg(x3)3 ≈ x327

tg(x3) ≈ x3

arcsin(x5) ≈ x5

sin(2•x2) ≈ 2•x2

limx→0 (tg(x3))3sin(2•x2)•arcsin(x5) = limx→0 5•x354•x3 = 554

Ответ:

limx→0 (tg(x3))3sin(2•x2)•arcsin(x5) = 554

е) Используя свойства второго замечательного предела:

limx→∞ (1 + ax)bx = eab

Получаем:

limx→∞ (7•x-37•x+4)4•x+9 = limx→∞ 1+-77•x+47•(4•x+9)7 = limx→∞ 1+-77•x+447•(7•x+4) = e(-7)47 = e-4

здесь a = -7, b = 4/7

Ответ:

limx→∞ (7•x-37•x+4)4•x+9 = e-4

а) y=3x5x2+1

Решение:

3x5x2+1ʹ = (3x5)ʹ•x2+1-3x5•(x2+1)ʹ(x2+1)2 = 5•3x23•x2+1-3x5•xx2+1(x2+1)2

3x5ʹ = 53•x53-1(x)ʹ = 5•3x23

(x)ʹ = 1

x2+1ʹ = 12•(x2+1)12-1((x2+1))ʹ = xx2+1

(x2+1)ʹ = 2•x

Здесь:

(x2)ʹ = 2•x2-1(x)ʹ = 2•x

(x)ʹ = 1

Ответ:

-3x8(x2+13)+5•3x23 x2+1

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(xa)' = axa-1

(a)' = 0

uvʹ = uʹv-uvʹv2

(x)ʹ = 12x

б) y=(x-sin(3•x))•cos(4•x)

Решение:

((x-sin(3•x))•cos(4•x))ʹ = (x-sin(3•x))ʹ•cos(4•x)+(x-sin(3•x))•(cos(4•x))ʹ = (-3•cos(3•x)+1)•cos(4•x)+(x-sin(3•x))•(-4•sin(4•x))

Здесь:

(x-sin(3•x))ʹ = (x)ʹ + (-sin(3•x))ʹ = 1 + (-3•cos(3•x)) = -3•cos(3•x)+1

(-sin(3•x))ʹ = (-sin(3•x))ʹ(3•x)ʹ = -3•cos(3•x)

(3•x)ʹ = 3

(cos(4•x))ʹ = (cos(4•x))ʹ(4•x)ʹ = -4•sin(4•x)

(4•x)ʹ = 4

Ответ:

-4•(x-sin(3•x))•sin(4•x)+(-3•cos(3•x)+1)•cos(4•x)

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(xa)' = axa-1

(a)' = 0

(uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f(x)'*g(x)'

в)

y=82•x-ln((x2)+ln(x))

Решение:

82•x-ln(x2)+ln(x)ʹ = 82•x-ln(x2)+ln(x)•ln(8)2•x-ln(x2+ln(x))•(-2•x+1x2•(x2+ln(x))+1)

Решение ищем по формуле:

(af(x))' = af(x)*ln(a)*f(x)'

82•x-ln(x2)+ln(x)ʹ = 82•x-ln(x2)+ln(x)•ln(8)2•x-ln(x2+ln(x))ʹ = 82•x-ln(x2)+ln(x)•ln(8)2•x-ln(x2+ln(x))•(-2•x+1x2•(x2+ln(x))+1)

2•x-ln(x2+ln(x))ʹ = -2•x+1x2•(x2+ln(x))+12•x-ln(x2+ln(x))

Поскольку:

2•x-ln(x2+ln(x))ʹ = 12•(2•x-ln(x2+ln(x)))12-1((2•x-ln(x2+ln(x))))ʹ = -2•x+1x2•(x2+ln(x))+12•x-ln(x2+ln(x))

2•x-ln(x2+ln(x))ʹ = (-ln(x2+ln(x)))ʹ + (2•x)ʹ = (-2•x+1xx2+ln(x)) + 2 = -2•x+1xx2+ln(x)+2

-ln(x2+ln(x))ʹ = (-ln(x2+ln(x)))ʹ(x2+ln(x))ʹ = -2•x+1xx2+ln(x)

x2+ln(x)ʹ = (x2)ʹ + (ln(x))ʹ = 2•x + 1x = 2•x+1x

Здесь:

(x2)ʹ = 2•x2-1(x)ʹ = 2•x

(x)ʹ = 1

Ответ:

82•x-ln(x2)+ln(x)•ln(8)2•x-ln(x2+ln(x))•(-2•x+1x2•(x2+ln(x))+1)

При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: