Контрольная работа по "Математическому анализу"
Автор: Наталья Коновалова • Июль 24, 2018 • Контрольная работа • 1,619 Слов (7 Страниц) • 624 Просмотры
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет дистанционных образовательных технологий
ОТЧЕТ
о выполнении контрольной работы № 7
по дисциплине «Математический анализ»
Руководитель
____________________________
«___» ______________ 2016г.
Исполнитель
«____» ____________ 2016г.
Оренбург 2016
Задача 1.
Приведите пример числового множества Х, у которого:
а) inf X∈X
б) inf X∉X
Имеет ли это множество Х в случае а) и б) наименьший элемент?
Решение:
а) inf {X∈R:0≤x≤1}=0
Наименьший элемент данного множества равен 0
б) inf {X={}=0[pic 1]
Наименьший элемент у данного множества не существует.
Задача 2.
а) Используя определение предела числовой последовательности по Коши, доказать, что [pic 2]
б) Используя определение предела функции по Коши, доказать, что
. Найти δ(Ɛ), если Ɛ =0,01[pic 3]
Решение:
а) Чтобы доказать, что по определению числовой последовательности по Коши, надо доказать, что для такое, что при будет справедливо неравенство . Чтобы найти N (Ɛ), решим неравенство (2): при тогда .[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
За номер N(Ɛ) примем наибольшее целое число не превосходящее , оно обозначается и называется антье числа .[pic 11][pic 12][pic 13]
Итак, показали, что для такой, что при справедливо неравенство (2) → по определению предела числовой последовательности. [pic 14][pic 15][pic 16]
б) Чтобы доказать, что , надо доказать, что для такое, что при , будет справедливо неравенство или [pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
[pic 22]
Итак, доказали, что для такое, что для , удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство (3) → по определению предела функции.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
Если Ɛ=0,01, то δ=0,01/3≈0,00(3)
Задача 3.
Найти пределы: а) ; б) ;[pic 27][pic 28]
в) ; г) ; д) [pic 29][pic 30][pic 31]
Решение:
а) [pic 32]
при подстановке х=-3 получили неопределенность вида , различим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем их корни [pic 33][pic 34]
т.о., [pic 35][pic 36]
[pic 37]
[pic 38][pic 39]
[pic 40]
Итак [pic 41]
б) [pic 42]
в) [pic 43]
г) [pic 44]
д) (разделили дробь на х)[pic 45]
Задача 4.
Пользуясь методом замены бесконечно малых величин эквивалентными, найти [pic 46]
Решение:
Сделаем замену t=x-1, t→0 (т.к. х→1), тогда х=t+1
Получим [pic 47]
Задача 5.
Найти точки разрыва функции и выяснить какого они рода[pic 48]
Решение:
Точка х=1 является точкой разрыва данной функции, т.к. в этой точке функции не существует (при х=1 [pic 49]
[pic 50][pic 51]
Точка х=1 – точка разрыва второго рода.
Задача 6.
Найти производные функций:
а) б) в) [pic 52][pic 53][pic 54]
Решение:
а) , [pic 55]
где [pic 56]
б) , где , [pic 57][pic 58]
[pic 59]
...