Введение в математический анализ
Автор: anastasiyaliapko • Февраль 24, 2020 • Практическая работа • 1,271 Слов (6 Страниц) • 299 Просмотры
МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 1
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1-2
«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Задача 1.
Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли данная числовая последовательность бесконечно малой (б. м. ч. п.), бесконечно большой (б. б. ч. п.), ограниченной числовой последовательностью .
[pic 1]
Решение.
[pic 2]
Так как предел n-го элемента существует и равен конечному числу, то исходная числовая последовательность сходится. Согласно свойствам, сходящаяся числовая последовательность является ограниченной.
Ответ: числовая последовательность является ограниченной,
[pic 3].
Задача 2
Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли данная числовая последовательность бесконечно малой (б. м. ч. п.), бесконечно большой (б. б. ч. п.), ограниченной числовой последовательностью .
[pic 4]
Решение.
При имеем [pic 5]
[pic 6] – неопределённость.
Для раскрытия неопределённости применим «замечательный» предел
[pic 7]
где (f(n)) – бесконечно большая числовая последовательность (б. б. ч. п.), то есть
[pic 8]
[pic 9]
Так как
[pic 10]
(порядок числителя больше порядка знаменателя 2>1, в числителе степень больше, чем в знаменателе), то
[pic 11]
Значит,
[pic 12]
Так как предел n-го элемента существует и равен конечному числу, то исходная числовая последовательность сходится. Согласно свойствам, сходящаяся числовая последовательность является ограниченной.
Ответ: числовая последовательность является ограниченной,
[pic 13].
Задача 3.
Выделите в заданной функции полный квадрат и постройте её график в декартовой системе координат путём преобразования графика функции у=х2
[pic 14]
Решение.
[pic 15]
Выделим полный квадрат в заданной функции
[pic 16]
Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции (f(x)+b) получают путем переноса графика f(x) вверх или вниз вдоль оси OY на |b| в зависимости от знака b. График функции f(x+c) получается параллельным переносом графика f(x) при с<0 в положительном направлении оси ОХ на с, и в отрицательном направлении этой оси при c>0, а график функции y=a f(x) получается растяжением графика f(x) вдоль оси ОY в а раз при a>1 или сжатием вдоль этой оси в а раз при 0
Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы у=х2 в точку О/(4; 3) и затем повернуть ветви параболы вниз (в соответствии со знаком минус перед х2), растягивать заданную параболу вдоль оси (OY) в рассматриваемой функции не следует, так как а = -1.
Построение заданной функции:
[pic 17]
Задача 4.
Постройте график функции r=r(φ), заданной в полярных координатах, для [pic 18] по точкам с шагом π/8, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью ОХ. Найдите каноническое уравнение полученной линии в декартовой системе координат и определите её тип.
[pic 19]
Решение.
[pic 20]
Для построения графика составим таблицу значений:
φ | 0 | π/8 | π/4 | 3π/8 | π/2 | 5π/8 | 3π/4 | 7π/8 | π |
r | 0.8 | [pic 21] | [pic 22] | [pic 23] | 2 | [pic 24] | <0 | <0 | <0 |
9π/8 | 5π/4 | 11π/8 | 3π/2 | 13π/8 | 7π/4 | 15π/8 | 2π | 131π/180 | 229π/180 |
<0 | <0 | [pic 25] | 2 | [pic 26] | [pic 27] | [pic 28] | 1 | [pic 29] | [pic 30] |
Из таблицы видно, что при и имеем ;[pic 31][pic 32][pic 33]
при точек у линии нет, так как не может быть r<0. Для вычерчивания линии проведем из полюса лучи, соответствующие углам φ, взятым с интервалом π/8. На каждом из этих лучей откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении φ из таблицы. Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график заданной функции:[pic 34]
...