Нарушение предпосылок теоремы Гаусса-Маркова

ЛЕКЦИЯ 12

НАРУШЕНИЯ ПРЕДПОСЫЛОК ТЕОРЕМЫ ГАУССА-МАРКОВА:

Ч. I. МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ

1. Что такое мультиколлинеарность? Причины ее возникновения
2. Проявления и последствия мультиколлинеарности
3. «Измерители» мультиколлинеарности
4. Что же с ней в итоге делать?!

Вспомним основные предположения теоремы Гаусса- Маркова:

Если:

1. Модель

Y = Xβ + u

специфицирована верно;

1. Х – детерминированная матрица, причем

rank(X ) = k ;

3)        E(u) = 0

и        Var(u) =

E(u′u) = σ

2 In ,

4)        E(uiu j )= 0, при

i ≠ j ,

то оценка МНК

b = βˆ = (X ′X

)−1 X ′Y

является наиболее

эффективной        оценкой        в        классе        линейных        несмещенных оценок (BLUE).

К чему приводят ошибки спецификации модели, мы посмотрели в предыдущей лекции.

Нарушение предположения (2) приводит к мультиколлинеарности;

нарушение (3) – к гетероскедастичности,

а нарушение (4) ведет к автокорреляции случайного возмущения.

Сегодня проанализируем влияние мультиколлинеарности на качество построенной модели.

Что такое мультиколлинеарность? Причины ее возникновения

Находя МНК-оценки параметров модели, мы предполагали, что Х – детерминированная матрица полного ранга, т.е.

rank(X ) = k

, где k – количество столбцов матрицы Х

(объясняющие переменные линейно независимы).

Что будет, если это условие нарушено?

Тогда

rank(X ) <

k , следовательно,

det(X ′X ) =

0 , и мы не

сможем обратить матрицу (X ′X ), а значит, не сможем

найти оценки параметров регрессии.

Такая ситуация называется точной (полной, совершенной) мультиколлинеарностью (perfect collinearity).

Рассмотрим на примере:

Пусть оценивается модель

Y = β1 + β2 X2 + β3X3 + β4 X4

• u , причем мы знаем, что

X4 =

X2 +

X3 , тогда получим:

Y = β1

+ (β2

+ β4 )X2

+ (β3

+ β4 )X3  + u

То есть невозможно отделить влияние Х4 от Х2 и Х3.

В такой ситуации, как мы рассмотрели, проблему

мультиколлинеарности можно решить, просто исключив из модели Х4.

Однако чаще встречается ситуация, когда между регрессорами существует не функциональная, а стохастическая, и притом довольно тесная связь.