Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых пере- менная величина входит в аргумент показательных функций. В настоящей статье мы изучим основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств.

Начнём со следующего простого вопроса. Уравнение 3x = 9 имеет очевидный корень x = 2. Имеются ли у этого уравнения другие корни?

Легко понять, что других корней нет, поскольку функция y = 3x является монотонно воз- растающей. Каждое своё значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, если отметить на оси ординат точку y = 9, то ей будет соответствовать единственная точка x = 3 на оси абсцисс (рис. 1).

Y

9

y = 3x

4

log34 2 Рис.1.Корниуравнений3x =9и3x =4

На рисунке показан также единственный корень уравнения 3x = 4. Он уже не выражается целым числом и равен log3 4.

Вообще, рассмотрим простейшее показательное уравнение

ax = b (1)

при a > 0 и a ̸= 1. Показательная функция y = ax монотонна и принимает только положитель- ные значения. Поэтому:

• при любом b > 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = loga b; • при b 0 уравнение (1) не имеет корней.

1

X

При решении показательных уравнений мы постоянно пользуемся упомянутыми выше свой- ствами показательной функции: она монотонна и принимает только положительные значения.

Задача 1. Решить уравнение: 8x+2 = 321−x. Решение. Заметим, что 8 = 23 и 32 = 25:

3(x+2) = 5(1−x),

23 x+2 = 25 1−x , 23(x+2) = 25(1−x).

то есть

Поскольку функция y = 2x монотонно возрастает, равенство 2a = 2b эквивалентно равенству

a = b. Следовательно, откуда x = −1/8.

Ответ: −1 . 8

Задача 2. Решить уравнение: 3x+1 + 3x − 3x−2 = 35.

Решение. Метод решения уравнений такого вида — вынести за скобки степень с наименьшим

показателем. В данном случае выносим за скобки 3x−2:

3x−2(33 +32 −1)=35 ⇔ 3x−2 ·35=35 ⇔ 3x−2 =1.

Последнее равенство запишем как 3x−2 = 30 и ввиду монотонности показательной функции заключаем, что x − 2 = 0, то есть x = 2.

Ответ: 2.

Задача 3. Решить уравнение: 4x − 2x+1 − 8 = 0.

Решение. Перепишем уравнение следующим образом: 22x −2·2x −8 = 0.

Вводя замену t = 2x, получим квадратное уравнение относительно t: t2 −2t−8=0.

Находим его корни: t1 = 4, t2 = −2. Остаётся сделать обратную замену.

Уравнение 2x = 4 имеет единственный корень x = 2. Уравнение 2x = −2 корней не имеет, так как показательная функция y = 2x не может принимать отрицательных значений.

Ответ: 2. Задача4.Решитьуравнение:2·4x+6·9x =7·6x.

Решение.Подставимвуравнение4=22,9=32 и6=2·3: 2·22x −7·2x ·3x +6·32x = 0.

Поделим обе части уравнения на величину 32x, которая ни при каких x не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:

2 2x 2 x

2· 3 −7· 3 +6=0.

2

Дальше действуем так же, как в предыдущей задаче. Замена t = 2 x приводит к квадрат- 3

ному уравнению:

Его корни равны 2 и 3/2. Обратная замена:

2t2 −7t+6=0.  2 x

= 2,  2 x3⇔ 3

3 x=log22,

 = x = −1. 32

Ответ: log2 2, −1. 3

Задача 5. Решить уравнение: 2 + √3 x + 2 − √3 x = 4. Решение. Заметим, что

√ x √ x √ 2 x 2+32−3=22−3 =1x=1.

Поэтому делаем замену t = 2 + √3 x и получаем: t + 1 = 4.

t

Приходим к квадратному уравнению t2 − 4t + 1 = 0 с корнями 2 ± √3. Обратная замена:

 √ x √ 2+ 3 =2+ 3,

